Question

已知函數(shù)f（x）=xlnx+ax（a∈R）．
（Ⅰ）當a=0，求f（x）的最小值；
（Ⅱ）若函數(shù)g（x）=f（x）+lnx在區(qū)間[1，+∞）上為增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）過點P（1，-3）恰好能作函數(shù)y=f（x）圖象的兩條切線，并且兩切線的傾斜角互補，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：綜合題,導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）求導函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求f（x）的最小值；
（Ⅱ）函數(shù)g（x）在區(qū)間[1，+∞）上為增函數(shù)，可得當x∈[1，+∞）時g'（x）≥0，即lnx+

1

x

≥-(a+1)在[1，+∞）上恒成立，求出左邊的最小值，即可求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）求出函數(shù)y=f（x）在A，B處的切線方程，利用過點P（1，-3），兩切線的傾斜角互補，建立方程組，即可求實數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（I）f（x）的定義域為（0，+∞）f′(x)=lnx+1，令f′(x)=0，得：x=

1

e

，…（1分）
當x∈（0，+∞）時，f'（x），f（x）的變化的情況如下：

x	(0， 1 e )	1 e	( 1 e ，+∞)
f'（x）	-	0	+
f（x）		極小值

…（3分）
∴f（x）的最小值是f（

1

e

）=-

1

e

．…（4分）
（Ⅱ）由題意得：g′(x)=lnx+a+1+

1

x

…（5分）
∵函數(shù)g（x）在區(qū)間[1，+∞）上為增函數(shù)，
∴當x∈[1，+∞）時g'（x）≥0，即lnx+

1

x

≥-(a+1)在[1，+∞）上恒成立，
∴h(x)=lnx+

1

x

，…（7分）
∴h′(x)=

1

x

-

1

x2

=

x-1

x2

，
∴h(x)=lnx+

1

x

在[1，+∞）上遞增，
∴-（a+1）≤h（1）=1，
∴a≥-2…（10分）
（Ⅲ）設兩切點A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂）），f'（x）=lnx+1+a
則函數(shù)y=f（x）在A，B處的切線方程分別為y=（lnx₁+1+a）（x-x₁）+x₁lnx₁+ax₁=（lnx₁+1+a）x-x₁，
∴y=（lnx₂+1+a）（x-x₂）+x₂lnx₂+ax₂=（lnx₂+1+a）x-x₂
且lnx₁+1+a+lnx₂+1+a=0
即

lnx1+lnx2+2(1+a)=0 lnx1+1+a-x1=-3 lnx2+1+a-x2=-3

也即

x1x2=e-2(1+a) x1+x2=6

即x₁，x₂是方程t²-6t+e^-2（a+1）=0的兩個正根，
∴△=36-4e^-2（a+1）＞0，
∴a＞-1-ln3…（15分）

點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查恒成立問題，考查分離參數(shù)法的運用，考查導數(shù)的幾何意義，正確求導是關(guān)鍵．