Question

已知中心在原點的橢圓C₁經(jīng)過點A(

5

3

，2)，且F（0，2）是它的一個焦點．拋物線C₂的頂點在原點，焦點為F（0，2），過點B（4，4）作直線交拋物線C₂于M，N兩點，C₂在M，N兩點處的切線分別是l₁，l₂，且l₁∩l₂=P．
（1）求橢圓C₁的方程及它的準線方程．
（2）探究點P能否在橢圓C₁上，若能，求出它的坐標，若不能說明理由．
（3）利用定積分的知識求橢圓C₁的面積．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標準方程

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由題意知，橢圓C₁是焦點在y軸上標準方程的橢圓，利用定義求出a，進而可求b，即可求橢圓C₁的方程及它的準線方程．
（2）求得P點在直線y=x-4上，可得直線y=x-4與橢圓C₁沒有公共點，即可得出結(jié)論；
（3）求出橢圓在第一象限部分的面積，根據(jù)對稱性，可求橢圓C₁的面積．

解答： 解：（1）由題意知，橢圓C₁是焦點在y軸上標準方程的橢圓，2a=

( 5 3 )2

+

( 5 3 )2+(2+2)2

=6，
∴b²=9-4=5，
∴橢圓的方程為

x2

5

+

y2

9

=1，準線方程為y=±

9

2

（2）拋物線C₂的方程為x²=8y，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（x₀，y₀），
∵y′=

1

4

x，∴l1：y-y1=

1

4

x1(x-x1)，即y=

1

4

x1x-y1．
同理：l2：y=

1

4

x2x-y2，
∴

y0= 1 4 x1x0-y1 y0= 1 4 x2x0-y2

，
∴MN的方程為y0=

1

4

xx0-y，
∵M，N過點（4，4），∴y₀=x₀-4，
即P點在直線y=x-4上；
聯(lián)立

x2 5 + y2 9 =1 y=x-4

，可得

x2

5

+

(x-4)2

9

=1，即14x²-40x+35=0，
∴△=1600-4×14×35＜0
∴直線y=x-4與橢圓C₁沒有公共點，
∴點P不能在橢圓C₁上．
（3）橢圓在第一象限部分的面積S=

∫

5 0

9- 9x2 5

dx=

3

5

∫

5 0

5-x2

dx，
∵

∫

5 0

5-x2

dx等于圓心在原點半徑為

5

的圓在第一象限部分的面積，
∴

∫

5 0

5-x2

dx=

5

4

π，
∴S=

3

5

∫

5 0

5-x2

dx=

3 5

4

π，
∴橢圓的面積為3

5

π．

點評：本題考查橢圓的方程與性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查橢圓面積的計算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，確定橢圓方程是關(guān)鍵．