Question

已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)O，對稱軸為x軸，焦點(diǎn)為F，拋物線上一點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2，且

FA

•

OA

=16．
（Ⅰ）求拋物線的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)M（8，0）作直線l交拋物線于B，C兩點(diǎn)，求證：OB⊥OC．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,拋物線的簡單性質(zhì)

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）解：由題設(shè)拋物線的方程為：y²=2px（p＞0），求出F，A的坐標(biāo)，利用

FA

•

OA

=16，可求拋物線的方程；
（Ⅱ）法一：因為直線當(dāng)l的斜率不為0，設(shè)直線當(dāng)l的方程為x=ky+8，與拋物線方程聯(lián)立，利用向量知識求解即可；
法二：①當(dāng)l的斜率不存在時，l的方程為x=8，當(dāng)l的斜率存在時，設(shè)l的方程為y=k（x-8），與拋物線方程聯(lián)立，利用向量知識求解即可．

解答： （Ⅰ）解：由題設(shè)拋物線的方程為：y²=2px（p＞0），
則點(diǎn)F的坐標(biāo)為(

p

2

，0)，點(diǎn)A的一個坐標(biāo)為(2，2

p

)，（2分）
∵

FA

•

OA

=16，∴(2-

p

2

，2

p

)(2，2

p

)=0，（4分）
∴4-p+4p=16，∴p=4，∴y²=8x．（6分）
（Ⅱ）證明：設(shè)B、C兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為（x₁，y₁）、（x₂，y₂），
法一：因為直線當(dāng)l的斜率不為0，設(shè)直線當(dāng)l的方程為x=ky+8．
方程組

y2=8x x=ky+8

得y²-8ky-64=0，y₁+y₂=8k，y₁•y₂=-64
∵

OB

=(x1，y1)，

OC

=(x2，y2)，
∴

OB

•

OC

=x1x2+y1y2=(ky1+8)(ky1+8)+y1y2=（k²+1）y₁y₂+8ky（y₁+y₂）+64=0，
∴OB⊥OC．（12分）
法二：①當(dāng)l的斜率不存在時，l的方程為x=8，此時B（8，8），C（8，-8），
即

OB

=(8，8)，

OC

=(8，-8)，有

OB

•

OC

=64-64=0，∴OB⊥OC．…（8分）
②當(dāng)l的斜率存在時，設(shè)l的方程為y=k（x-8）．
方程組

y2=8x y=k(x-8)

得k²x²-（16k²+8）x+64k²=0，ky²-8y-64k=0．
∴x₁x₂=64，y₁y₂=-64，（10分）
∵

OB

=(x1，y1)，

OC

=(x2，y2)，
∴

OB

•

OC

=x1x2+y1y2=64-64=0，
∴OB⊥OC．
由①②得OB⊥OC．（12分）

點(diǎn)評：本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查向量知識的運(yùn)用，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，正確設(shè)出直線方程是關(guān)鍵．