Question

圓C與y軸切于點(diǎn)（0，2），與x軸正半軸交于兩點(diǎn)M，N（點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)），且|MN|=3．
（1）求圓C的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)M任作一直線與圓O：x²+y²=4相交于A，B，連接AN，BN，求證：k_AN+k_BN=0．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專(zhuān)題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）設(shè)圓的圓心為（a，2），則半徑為a，根據(jù)|MN|=3，圓心C到弦MN的距離為2，求得r=a=

5

2

，從而可以寫(xiě)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）設(shè)AB：x=ty+1，代入x²+y²-4=0，得：（t²+1）y²+2ty-3=0，由此利用韋達(dá)定理結(jié)合已知條件能證明k_AN+k_BN=0．

解答： （1）解：由已知可設(shè)C（a，2）（a＞0），圓C的半徑r=a，
又∵|MN|=3　
圓心C到弦MN的距離為2，
故r2=d2+(

|MN|

2

)2=4+

9

4

=

25

4

，
∴a=r=

5

2

，（4分）
∴圓C的方程為(x-

5

2

)2+(y-2)2=

25

4

．
（2）證明：設(shè)AB：x=ty+1，代入x²+y²-4=0，
并整理得：（t²+1）y²+2ty-3=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

y1+y2=- 2t t2+1 y1y2= -3 t2+1

，
k_AN+k_BN=

y1

x1-4

+

y2

x2-4

=

y1

ty1-3

+

y2

ty2-3

=

2ty1y2-3(y1+y2)

(ty1-3)(ty2-3)

=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的方程的求法，考查兩直線的斜率和為零的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意點(diǎn)到直線距離的合理運(yùn)用．