Question

已知f（x）為定義在R上奇函數(shù)，當滿足x≤y且xy≠0時有f（x+y）=3f（x）+4f（y）+3x²-5y²+2x+3y+1，求f（x）的表達式．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應用,函數(shù)奇偶性的性質

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質，以及抽象函數(shù)的表達式，利用賦值法即可得到結論．

解答： 解：∵f（x）為定義在R上奇函數(shù)，
∴f（0）=0，
∵當滿足x≤y且xy≠0時有f（x+y）=3f（x）+4f（y）+3x²-5y²+2x+3y+1，
∴令y=-x，若x≤y且，xy≠0，
則x≤-x，且x≠0，y≠0，此時x＜0，
則f（x-x）=3f（x）+4f（-x）+3x²-5（-x）²+2x+3（-x）+1=f（0）=0，
則3f（x）-4f（x）-2x²-x+1=0，
則f（x）=-2x²-x+1，
若x＞0，則-x＜0，
則f（-x）=-2x²+x+1，
∵f（x）是奇函數(shù)，∴f（-x）=-2x²+x+1=-f（x），
則f（x）=2x²-x-1，x＞0．
故函數(shù)f（x）=

2x2-x-1， x＞0 0， x=0 -2x2-x+1， x＜0

．

點評：本題主要考查函數(shù)解析式的求解，根據(jù)函數(shù)的奇偶性以及賦值法是解決本題的關鍵．