如圖,將邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD沿對(duì)角線BD折成一個(gè)直二面角,且EA⊥平面ABD,AE=.
(1)若,求證:AB∥平面CDE;
(2)求實(shí)數(shù)的值,使得二面角AECD的大小為60°.
(1)答案詳見解析;(2)
解析試題分析:空間向量在立體幾何中的應(yīng)用,最大的優(yōu)點(diǎn)就是避開了傳統(tǒng)立體幾何中“如何添加輔助線”這個(gè)難點(diǎn),使得操作更模式化、易操作.需根據(jù)已知條件尋找(或添加)三條共點(diǎn)的兩兩垂直的三條垂線,分別作為軸,建立空間直角坐標(biāo)系.(1)由已知,以
的方向作為
軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,用坐標(biāo)表示有關(guān)點(diǎn),要證明AB∥平面CDE,只需證明
垂直于面CDE的法向量即可.本題還可以利用線面垂直的判定定理證明;(2)分別求出面
和面
的法向量,并求法向量的夾角,利用余弦值等于
列方程,求
即可.
試題解析:(1)如圖建立空間指教坐標(biāo)系,則A(0,0,0),B(2,0,0),C(1,1,),D(0,2,0),E(0,0,
),
2分
設(shè)平面的一個(gè)法向量為
,
則有,
取時(shí),
4分
,又
不在平面
內(nèi),所以
平面
; 7分
(2)如圖建立空間直角坐標(biāo)系,則
A(0,0,0),B(2,0,0),C(1,1,),D(0,2,0),E(0,0,
),
,
設(shè)平面的一個(gè)法向量為
,
則有,取
時(shí),
9分
又平面的一個(gè)法向量為
, 10分
因?yàn)槎娼?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/d1/3/1qou23.png" style="vertical-align:middle;" />的大小為,
,
即,解得
14分
又,所以
. 15分
考點(diǎn):1、直線和平面平行的判定定理;2、二面角的求法.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖長(zhǎng)方體中,底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形,E為
延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)且滿足
.
(1)求證:平面
;
(2)當(dāng)為何值時(shí),二面角
的大小為
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知四棱錐P-ABCD中,PB⊥平面ABCD,底面ABCD是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°,PB=BC=CD=AB.Q是PC上的一點(diǎn),且PA∥平面QBD.
⑴確定Q的位置;
⑵求二面角Q-BD-C的平面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,已知平面四邊形中,
為
的中點(diǎn),
,
,
且.將此平面四邊形
沿
折成直二面角
,
連接,設(shè)
中點(diǎn)為
.
(1)證明:平面平面
;
(2)在線段上是否存在一點(diǎn)
,使得
平面
?若存在,請(qǐng)確定點(diǎn)
的位置;若不存在,請(qǐng)說明理由.
(3)求直線與平面
所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖1,在Rt中,
,
D、E分別是
上的點(diǎn),且
,將
沿
折起到
的位置,使
,如圖2.
(1)求證:平面平面
;
(2)若,求
與平面
所成角的余弦值;
(3)當(dāng)點(diǎn)在何處時(shí),
的長(zhǎng)度最小,并求出最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如右圖,在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCDA1B1C1D1中,G為△BC1D的重心,
(1)試證:A1、G、C三點(diǎn)共線;
(2)試證:A1C⊥平面BC1D;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AD∥BC,AB⊥BC,AB=AD=1BC=2,又PB⊥平面ABCD,且PB=1,點(diǎn)E在棱PD上,且DE=2PE.
(1)求證:BE⊥平面PCD;
(2)求二面角A一PD-B的大�。�
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
在如圖所示的幾何體中,四邊形是等腰梯形,
∥
,
,
.在梯形
中,
∥
,且
,
⊥平面
.
(1)求證:;
(2)若二面角為
,求
的長(zhǎng).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,側(cè)棱A1A⊥底面ABCD,AB∥DC,AB⊥AD,AD=CD=1,AA1=AB=2,E為棱AA1的中點(diǎn).
(1)證明B1C1⊥CE;
(2)求二面角B1-CE-C1的正弦值;
(3)設(shè)點(diǎn)M在線段C1E上,且直線AM與平面ADD1A1所成角的正弦值為,求線段AM的長(zhǎng).
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