Question

定義函數f（x）=[x•[x]]，其中[x]表示不超過x的最大整數，如[1.3]=1，[-2.5]=-3，當x∈[0，n）（n∈N^*）時，設函數f（x）的值域為集合A，設A中元素個數為a_n，則使

an+49

n

取最小值時，n的值為

 

．

Answer 1

考點：基本不等式

專題：不等式的解法及應用

分析：當x∈[0，1），[x]=0，∴f（x）=[x•[x]]=[0]=0，此時當n=1時，A={0}，a₁=1；當x∈[1，2），[x]=1，∴f（x）=[x•[x]]=[x]=1，因此當n=2時，A={0，1}，a₂=2；
當x∈[2，3），[x]=2，∴f（x）=[x•[x]]=[2x]=

4，x∈[2， 5 2 ) 5，x∈[ 5 2 ，3)

，因此當n=3時，A={0，1，4，5}，a₃=4；…，可得取x∈[0，n）時，a_n=

n2-n+2

2

．代入再利用基本不等式即可得出．

解答： 解：當x∈[0，1），[x]=0，∴f（x）=[x•[x]]=[0]=0，此時當n=1時，A={0}，a₁=1；
當x∈[1，2），[x]=1，∴f（x）=[x•[x]]=[x]=1，因此當n=2時，A={0，1}，a₂=2；
當x∈[2，3），[x]=2，∴f（x）=[x•[x]]=[2x]=

4，x∈[2， 5 2 ) 5，x∈[ 5 2 ，3)

，因此當n=3時，A={0，1，4，5}，a₃=4；
當x∈[3，4），[x]=3，∴f（x）=[x•[x]]=[3x]=

9，x∈[3， 10 3 ) 10，x∈[ 10 3 ， 11 3 ) 11，x∈[ 11 3 ，4)

，因此當n=4時，A={0，1，4，5，9，10，11}，a₄=7；
…，

取x∈[0，n）時，a_n=

n2-n+2

2

．

∴

an+49

n

=

n2-n+2 2 +49

n

=n+

100

n

-1≥2

n• 100 n

-1=19，當n=10時取得最小值．
故答案為：10．

點評：本題考查了“取整函數[x]”的性質、歸納法、基本不等式的性質，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．