Question

4．經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）作直線l交橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1于A、B兩點(diǎn)，且M為弦AB的中點(diǎn)．
（1）求直線l的方程；
（2）求弦AB的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出A，B的坐標(biāo)，代入橢圓方程，利用“點(diǎn)差法”求出AB所在直線的斜率，再由直線方程的點(diǎn)斜式得答案；
（2）聯(lián)立直線方程和橢圓方程，求出A，B的坐標(biāo)，由兩點(diǎn)間的距離公式求解．

解答 解：（1）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{3}=1$，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}+\frac{{{y}_{2}}^{2}}{3}=1$，
兩式作差得：$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}-\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}=\frac{{{y}_{2}}^{2}}{3}-\frac{{{y}_{1}}^{2}}{3}$，
即$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（{x}_{1}+{x}_{2}）}{4}=-\frac{（{y}_{1}-{y}_{2}）（{y}_{1}+{y}_{2}）}{3}$，
∴$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}=-\frac{3（{x}_{1}+{x}_{2}）}{4（{y}_{1}+{y}_{2}）}$，
∵M(jìn)（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）弦AB的中點(diǎn)，
∴$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}=-\frac{3×2}{4×\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴所求直線l的方程：y-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$-\frac{\sqrt{3}}{2}（x-1）$，即y=-$\frac{\sqrt{3}}{2}x+\sqrt{3}$；
（2）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{\sqrt{3}}{2}x+\sqrt{3}}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=\sqrt{3}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=0}\end{array}\right.$．
則|AB|=$\sqrt{（0-2）^{2}+（\sqrt{3}-0）^{2}}=\sqrt{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查了直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，體現(xiàn)了“設(shè)而不求”的解題思想方法，是中檔題．