Question

【題目】已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，焦距長(zhǎng)為2，左準(zhǔn)線為： ．

（1）求橢圓的方程及其離心率；

（2）若過點(diǎn)的直線交橢圓于， 兩點(diǎn)，且為線段的中點(diǎn)，求直線的方程；

（3）過橢圓右準(zhǔn)線上任一點(diǎn)引圓： 的兩條切線，切點(diǎn)分別為， ．試探究直線是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，請(qǐng)求出該定點(diǎn)；否則，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）， （2）（3）.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)條件可得關(guān)于a,b,c方程組，解得， ，即得橢圓的方程及其離心率；（2）利用點(diǎn)差法得中點(diǎn)坐標(biāo)與弦斜率關(guān)系式，解得斜率，根據(jù)點(diǎn)斜式得直線的方程；（3）先根據(jù)兩圓：以為直徑的圓與圓方程相減得切點(diǎn)弦方程，再根據(jù)方程恒等得定點(diǎn)

試題解析：（1）設(shè)橢圓方程為，則，所以，

又其準(zhǔn)線為，所以，則，

所以橢圓方程為，其離心率為．

（2）設(shè)點(diǎn)和點(diǎn)坐標(biāo)分別為， ，因?yàn)辄c(diǎn)和點(diǎn)都在橢圓上，

所以兩式相減得，

又點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，所以， ，

所以直線的斜率為，

所以直線的方程為，即．

（3）直線恒過定點(diǎn)．　

因?yàn)闄E圓的右準(zhǔn)線方程為，所以設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，圓心坐標(biāo)為，

因?yàn)橹本�， 是圓的兩條切線，所以切點(diǎn)， 在以為直徑的圓上.

所以該圓方程為，

兩圓方程相減，得直線的方程，

即，由得

所以直線必過定點(diǎn).