Question

16．為了解我市大學(xué)生的體質(zhì)狀況，對(duì)昆明地區(qū)部分大學(xué)的學(xué)生進(jìn)行了身高、體重和肺活量的抽樣調(diào)查．現(xiàn)隨機(jī)抽取100名學(xué)生，測(cè)得其身高情況如表所示．

分組	頻數(shù)	頻率
[160，165）	①	0.050
[165，170）	20	0.200
[170，175）	②	③
[175，180）	30	0.300
[180，185]	10	0.100
合 計(jì)	100	1.000

（Ⅰ）求出頻率分布表中①、②、③位置上相應(yīng)的數(shù)據(jù)，并補(bǔ)全圖3所示頻率分布直方圖，再根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)眾數(shù)的值；
（Ⅱ）若按身高分層抽樣，抽取20人參加2015年慶元旦全民健身運(yùn)動(dòng)，其中有3名學(xué)生參加越野比賽，記這3名學(xué)生中“身高低于170cm”的人數(shù)為ξ，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由頻率求得[160，165）內(nèi)的頻數(shù)，作差求出[170，175）內(nèi)的頻數(shù)，則[170，175）內(nèi)的頻率可求，最高矩形中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為眾數(shù)的估計(jì)值；
（Ⅱ）ξ可能的取值為0，1，2，3，利用古典概型概率計(jì)算公式求出對(duì)應(yīng)的概率，列出頻率分布表，則期望可求．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)①，②處分別為m，n，由$\frac{m}{100}=0.050$，得m=5；
則n=100-（5+20+30+10）=35，∴[170，175）內(nèi)的頻率為$\frac{35}{100}=0.35$．
∴①、②、③處分別填5、35、0.350，眾數(shù)是172.5cm，
補(bǔ)全頻率分布直方圖如圖3所示：
圖3

（Ⅱ）用分層抽樣的方法，從中選取20人，則“身高低于170cm”的有5人，
∴ξ可能的取值為0，1，2，3，
則P（ξ=0）=$\frac{{C}_{15}^{3}}{{C}_{20}^{3}}=\frac{91}{228}$；
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{15}^{2}•{C}_{5}^{1}}{{C}_{20}^{3}}=\frac{35}{76}$；
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{15}^{1}•{C}_{5}^{2}}{{C}_{20}^{3}}=\frac{5}{38}$
P（ξ=3）=$\frac{{C}_{5}^{3}}{{C}_{20}^{3}}=\frac{1}{114}$，
則ξ的分布列如下：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{91}{228}$	$\frac{35}{76}$	$\frac{5}{38}$	$\frac{1}{114}$

∴E（ξ）=$0×\frac{91}{228}+1×\frac{35}{76}+2×\frac{5}{38}+3×\frac{1}{114}=\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查頻率分布直方圖，考查了離散型隨機(jī)變量及其分布列、數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題．