Question

1．在平面直角坐標(biāo)系中，若x與y都是整數(shù)，就稱（x，y）為整點，下列命題中正確的是（　　）
①存在這樣的直線，既不與坐標(biāo)軸平行又不經(jīng)過任何整點；
②如果k與b都是無理數(shù)，則直線y=kx+b不經(jīng)過任何整點；
③直線l經(jīng)過無窮多個整點，當(dāng)且僅當(dāng)l經(jīng)過兩個不同的整點；
④直線y=kx+b經(jīng)過無窮多個整點的充分必要條件是：k與b都是有理數(shù)；
⑤存在恰經(jīng)過一個整點的直線．

• A． ①⑤
• B． ②④
• C． ④⑤
• D． ①③⑤

Answer 1

分析 ①舉例子說明命題是真命題；
②舉反例說明命題是假命題；
③取直線l的兩個不同整點，設(shè)方程為y=kx，把兩整點的坐標(biāo)代入l的方程，兩式相減得到兩整點的橫、縱坐標(biāo)之差的那個點也為整點且在l上，由此得到直線l經(jīng)過無窮多個整點，判定命題為真；
④利用充分必要條件判斷即可；
⑤舉例子說明命題為真命題．

解答 解：①直線y=x+$\frac{1}{2}$，既不與坐標(biāo)軸平行又不經(jīng)過任何整點，∴命題①正確；
②當(dāng)k=$\sqrt{2}$，b=-$\sqrt{2}$時，直線y=$\sqrt{2}$x-$\sqrt{2}$過整點（1，0），∴命題②錯誤；
③設(shè)y=kx為過原點的直線，若此直線l過不同的整點（x₁，y₁）和（x₂，y₂），
把兩點代入直線l方程得：y₁=kx₁，y₂=kx₂，
兩式相減得：y₁-y₂=k（x₁-x₂），
則（x₁-x₂，y₁-y₂）也在直線y=kx上且為整點，
通過這種方法得到直線l經(jīng)過無窮多個整點，∴命題③正確；
④當(dāng)直線y=kx+b經(jīng)過無窮多個整點時，k、b都是有理數(shù)，如y=x+1，∴充分性成立；
反之，當(dāng)k、b都是有理數(shù)時，直線y=kx+b經(jīng)過無窮多個整點，不一定成立，如y=x+$\frac{1}{2}$，∴必要性不成立；
∴命題④錯誤；
⑤直線y=$\sqrt{2}$x只過一個整點（0，0），∴命題⑤正確．
綜上，正確命題有3個，序號是①③⑤．
故選：D．

點評 本題考查了判定命題真假的問題以及對題中新定義的理解能力，是中檔題．