Question

已知關于x的方程

sinx

x

=k(k∈(0，1))在（-3π，0）∪（0，3π）內有且僅有4個根，從小到大依次為x₁，x₂，x₃，x₄．
（1）求證：x₄=tanx_4．
（2）是否存在常數(shù)k，使得x₂，x₃，x₄成等差數(shù)列？若存在求出k的值，否則說明理由．

Answer 1

分析：將方程根的問題轉化為圖象的交點問題，先畫圖（如下），再觀察交點個數(shù)即得．

解答：解：（1）由原方程得sinx=kx（x≠0），
設函數(shù)f（x）=sinx，g（x）=kx（x≠0），它們的圖象如圖所示：
方程得sinx=kx（x≠0）在（-3π，0）∪（0，3π）內有
且僅有4個根，x₄必是函數(shù)g（x）=kx與f（x）=sinx，
在(2π，

5π

2

)內相切時切點的橫坐標，
即切點為（x₄，sinx₄），g（x）=kx是f（x）=sinx的切線．
由f'（x）=cosx，∴k=cosx₄，又∵sinx₄=kx₄，于是x₄=tanx₄．

（2）由題設知x₂=-x₃，又x₂，x₃，x₄成等差數(shù)列，得2x₃=x₂+x₄，∴x3=

1

3

x4．
由sinx₃=kx₃，得sin

1

3

x4=

1

3

kx4，即sinx4=3sin

1

3

x4．
由題設x4∈(2π，

5π

2

)，得

x4

3

∈(

2π

3

，

5π

6

)，
∴sin

x4

3

∈(

1

2

，

3

2

)，有3sin

x4

3

∈(

3

2

，

3 3

2

)，即sinx4∈(

3

2

，

3 3

2

)，與sinx₄＜1矛盾
故不存在常數(shù)k使得x₂，x₃，x₄成等差數(shù)列．

點評：數(shù)形結合是重要的數(shù)學思想，以形助數(shù)，直觀簡捷，從而利用函數(shù)圖象可以進一步發(fā)現(xiàn)函數(shù)性質，并能利用函數(shù)圖象解決實際問題．