Question

下列命題中正確的是（　�。�

• A．y=x+

  1

  x

  的最小值是2
• B．y=

  x2+3

  x2+2

  的最小值是2
• C．y=

  x2+5

  x2+4

  的最小值是

  5

  2

• D．y=2-3x-

  4

  x

  的最大值是2-4

  3

Answer 1

分析：當(dāng)x＜0時(shí)，y=x+

1

x

＜0；y=

x2+3

x2+2

=

x2+2

+

1

x2+2

≥

2

+

1

2

=

3 2

2

；y=

x2+5

x2+4

=

x2+4

+

1

x2+4

≥2+

1

2

=

5

2

；當(dāng)x＜0時(shí)，y=2-3x-

4

x

的最大值是2-4

3

不成立．

解答：解：當(dāng)x＞0時(shí)，y=x+

1

x

≥2

x• 1 x

=2，其最小值是2；
當(dāng)x=0時(shí)，y=x+

1

x

不存在；
當(dāng)x＜0時(shí)，y=x+

1

x

=-（-x-

1

x

）≤-2

(-x)•(- 1 x )

=-2，其最大值是-2．
故A不成立；
設(shè)y=x+

1

x

，則y′=1-

1

x2

，當(dāng)x＞1時(shí)，y′＞0，
∴y=x+

1

x

在（1，+∞）內(nèi)是增函數(shù)．
∵y=

x2+3

x2+2

=

x2+2

+

1

x2+2

，

x2+2

≥

2

，
∴y=

x2+3

x2+2

=

x2+2

+

1

x2+2

≥

2

+

1

2

=

3 2

2

，
∴y=

x2+3

x2+2

的最小值是

3 2

2

，故B不正確．
∵y=

x2+5

x2+4

=

x2+4

+

1

x2+4

，

x2+4

≥2，
∴y=

x2+5

x2+4

=

x2+4

+

1

x2+4

≥2+

1

2

=

5

2

，
∴y=

x2+5

x2+4

的最小值是

5

2

，故C正確；
當(dāng)x＞0時(shí)，y=2-3x-

4

x

≤2-2

3x• 4 x

=2-4

3

，其最大值是2-4

3

；
當(dāng)x=0時(shí)，y=2-3x-

4

x

不存在；
x＜0時(shí)，y=2-3x-

4

x

≥2+2

(-3x)• 4 x

=2+4

3

，其最小值是2+4

3

，故D不成立．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查基本不等式的性質(zhì)及其應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．解題時(shí)要注意均值定理成立的條件：“一正，二定，三相等．”