Question

20．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}cosθ\\ y=sinθ\end{array}$（θ為參數(shù)），以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為：ρsin（θ+$\frac{π}{4}}$）=1．直線l與曲線C相交于點(diǎn)A，B．
（1）求直線l的直角坐標(biāo)方程；
（2）求|AB|．

Answer 1

分析 （1）直線l的極坐標(biāo)方程為：ρsin（θ+$\frac{π}{4}}$）=1．展開可得：$\frac{\sqrt{2}}{2}$ρ（sinθ+cosθ）=1，利用互化公式可得直角坐標(biāo)方程．
（2）曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}cosθ\\ y=sinθ\end{array}$（θ為參數(shù)）化為普通方程：$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1．與直線方程聯(lián)立化為：$4{x}^{2}-6\sqrt{2}$x+3=0，利用|AB|=$\sqrt{2[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$即可得出．

解答 解：（1）直線l的極坐標(biāo)方程為：ρsin（θ+$\frac{π}{4}}$）=1．展開可得：$\frac{\sqrt{2}}{2}$ρ（sinθ+cosθ）=1，
∴直角坐標(biāo)方程為：x+y-$\sqrt{2}$=0．
（2）曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}cosθ\\ y=sinθ\end{array}$（θ為參數(shù)）化為普通方程：$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1}\\{x+y-\sqrt{2}=0}\end{array}\right.$，化為：$4{x}^{2}-6\sqrt{2}$x+3=0，∴x₁+x₂=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，x₁x₂=$\frac{3}{4}$．
∴|AB|=$\sqrt{2[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{2[（\frac{3\sqrt{2}}{2}）^{2}-4×\frac{3}{4}]}$=$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、直線與橢圓相交弦長(zhǎng)公式、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．