Question

7．已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁（底面是正方形，側棱垂直于底面）的8個頂點都在球O的表面上，AB=1，AA₁′=2，則球O的半徑R=6π；若E、F是棱AA₁和DD₁的中點，則直線EF被球O截得的線段長為$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 由題意可知正四棱柱的體對角線計算球的直徑，求出對角線的長可得球的直徑，求出半徑，即可求出球的表面積；如圖所示，OP 是球的半徑，OQ是棱長的一半，求出PQ的2倍即可求出直線EF被球O截得的線段長．

解答 解：正四棱柱對角線為球直徑，A₁C²=1+1+4，
所以R=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，所以球的表面積為6π；
由已知所求EF是正四棱柱在球中其中一個截面的直徑上的一部分，Q為EF的中點，
d=$\frac{1}{2}$，R=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，所以PQ=$\sqrt{\frac{3}{2}-\frac{1}{4}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
所以2PQ=$\sqrt{5}$．
故答案為：6π；$\sqrt{5}$

點評 本題考查正四棱柱的外接球，球的表面積的計算，球的截面知識，考查計算能力，空間想象能力，正確利用條件求解直線EF被球O截得的線段長，是本題的難點，結合圖形直觀，易于解題．