Question

20．已知：關(guān)于x的方程x²+ax+1-a=0，根據(jù)下列條件，分別求出實(shí)數(shù)a的取值范圍：
（1）方程的兩個根都大于0；
（2）方程的兩個根都小于0；
（3）方程的兩個根異號；
（4）方程的兩個根同號．

Answer 1

分析 （1）方程有兩正根，△≥0，且對稱軸＞0，兩根積為正數(shù)；
（2）方程有兩負(fù)根，△≥0，且對稱軸＜0，兩根積為正數(shù)
（3）方程的兩個根異號轉(zhuǎn)化為f（0）＜0，求解即可．
（4）結(jié)合（1）（2）寫出結(jié)果即可．

解答 解：（1）關(guān)于x的方程x²+ax+1-a=0，方程的兩個根都大于0，
可得：$\left\{\begin{array}{l}{△={a}^{2}+4a-4≥0}\\{-\frac{a}{2}＞0}\\{1-a＞0}\end{array}\right.$，
解得a∈（-∞，$-2\sqrt{2}-2$]．
（2）由題意方程的兩個根都小于0，
可得：$\left\{\begin{array}{l}{△={a}^{2}-4（1-a）≥0}\\{-\frac{a}{2}＜0}\\{1-a＞0}\end{array}\right.$   
解得a∈[2$\sqrt{2}-2$，1）．
（3）由題意關(guān)于x的方程x²+ax+1-a=0，方程的兩個根異號，
令f（x）=x²+ax+1-a，只需f（0）＜0即可，即1-a＜0，解得1＜a．
（4）由（1）（2）可得：a∈[2$\sqrt{2}-2$，1）∪（-∞，$-2\sqrt{2}-2$]．

點(diǎn)評 本題考查完成時的性質(zhì)，解決此類問題時，要找到兩根與系數(shù)的關(guān)系，同時不能漏掉題目隱含條件，以免出錯．