Question

已知y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，f（x）=．
（1）分別求a，b，c，d的值；  
（2）畫出f（x）的簡圖并寫出其單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

【答案】分析：（1）因為奇函數(shù)f（0）=0，得出a的值，再根據(jù)函數(shù)當(dāng)x＞0的表達(dá)式結(jié)合函數(shù)為奇函數(shù)，可求出當(dāng)x＜0的f（x）表達(dá)式，最后比較系數(shù)可得得b、c、d的值．
（2）由（1）得到的函數(shù)表達(dá)式，結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，不難分別作出當(dāng)x＜0和x＞0時函數(shù)圖象對應(yīng)的拋物線，最后根據(jù)所得圖象可給出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
解答：解：y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，則f（0）=0，得a=0，
設(shè)x＜0時，則-x＞0，得f（-x）=（-x）²-2（-x）-3=x²+2x-3
∵f（x）為R上的奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），得x＜0時f（x）=-x²-2x+3
結(jié)合題意，比較系數(shù)得b=-1，c=-2，d=3．-----------（6分）
（2）由（1）知，函數(shù)表達(dá)式為f（x）=
由此可得，當(dāng)x＜0時函數(shù)的圖象是開口向下的拋物線，
關(guān)于直線x=-1對稱，
當(dāng)x＞0時，函數(shù)的圖象是開口向上的拋物線，
關(guān)于直線x=1對稱，
而f（0）=0說明原點在函數(shù)圖象上，因此函數(shù)的圖象如右圖------------（10分）
由圖象可得：f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（-1，1），單調(diào)增區(qū)間為（-∞，-1），（1，+∞）---------（12分）
點評：本題以分段函數(shù)為例，求函數(shù)的表達(dá)式并作函數(shù)圖象，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，著重考查了基本初等函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性等知識，考查了函數(shù)圖象的作法，屬于基礎(chǔ)題．