Question

已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象交x軸于點A（x₀，0）和點B（2，0），與y軸的正半軸交于點C，其對稱軸是直線x=-1，tan∠BAC=2，點A關(guān)于y軸的對稱點為點D．
（1）確定A、C、D三點的坐標(biāo)；
（2）求過B、C、D三點的二次函數(shù)的解析式；
（3）若過點（0，3）且平行于x軸的直線與（2）小題中所求拋物線交于M、N兩點，以MN為一邊，二次函數(shù)圖象上任意一點P（x，y）為頂點作平行四邊形，若平行四邊形的面積為S，寫出S關(guān)于P點縱坐標(biāo)y的函數(shù)解析式．
（4）當(dāng)

1

2

＜x＜4時，（3）小題中平行四邊形的面積是否有最大值？若有，請求出；若無，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì),函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）先求出點B的坐標(biāo)，從而求出A的坐標(biāo)，進而求出D點的坐標(biāo)；（2）先設(shè)出拋物線的解析式，代入求出即可；
（3）通過討論y的范圍，從而求出y的表達式；（4）當(dāng)

1

2

＜x＜4的平行四邊形面積最大，只要點P到MN的距離h最大，求出即可．

解答： 解：（1）如圖示：

∵點A與點B關(guān)于直線x=-1對稱，點B的坐標(biāo)是（2，0），
∴點A的橫坐標(biāo)是

x0+2

2

=-1，x₀=-4，
故點A的坐標(biāo)是（-4，0），
∵tan∠BAC=2即

OC

|OA|

=2，可得OC=8，
∴C（0，8），
∵點A關(guān)于y軸的對稱點為D，
∴點D的坐標(biāo)是（4，0）．
（2）設(shè)過三點的拋物線解析式為y=a（x-2）（x-4），
代入點C（0，8），解得a=1，
∴拋物線的解析式是y=x²-6x+8；
（3）∵拋物線y=x²-6x+8與過點（0，3）平行于x軸的直線相交于M點和N點，
∴M（1，3），N（5，3），|MN|=4，而拋物線的頂點為（3，-1），
當(dāng)y＞3時，S=4（y-3）=4y-12，
當(dāng)-1≤y＜3時，S=4（3-y）=-4y+12，
（4）以MN為一邊，P（x，y）為頂點，
且當(dāng)

1

2

＜x＜4的平行四邊形面積最大，只要點P到MN的距離h最大，
∴當(dāng)x=3，y=-1時，h=4S=|MN|h=4×4=16，
∴滿足條件的平行四邊形面積有最大值16．

點評：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，閱讀量大，具有一定的難度，本題屬于中檔題．