Question

已知函數(shù)，其中是常數(shù).

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（Ⅱ）若在定義域內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù)，求的取值范圍；

（Ⅲ）若關(guān)于的方程在上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求的取值范圍.

 

Answer 1

（1）；（2）； （3）

【解析】

試題分析：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線在點(diǎn)處的切線方程，注意這個(gè)點(diǎn)的切點(diǎn).(2)對(duì)于轉(zhuǎn)化為恒成立的問題，常用到以下兩個(gè)結(jié)論：（1），（2）

（3)解決類似的問題時(shí)，注意區(qū)分函數(shù)的最值和極值.求函數(shù)的最值時(shí)，要先求函數(shù)在區(qū)間內(nèi)使的點(diǎn)，再計(jì)算函數(shù)在區(qū)間內(nèi)所有使的點(diǎn)和區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值，最后比較即得然后由相應(yīng)條件的到參量的范圍.

試題解析：(Ⅰ)由可得

．

當(dāng)時(shí),

所以 曲線在點(diǎn)處的切線方程為

即

（Ⅱ） 由(Ⅰ)知，若是單調(diào)遞增函數(shù)，則恒成立，

 

即恒成立，∴，

，所以的取值范圍為．

（Ⅲ）令，則關(guān)于的方程在上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

令，

解得或．

當(dāng)，即時(shí)，在區(qū)間上，，所以是上的增函數(shù).

所以 方程在上不可能有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．

當(dāng)，即時(shí)，隨的變化情況如下表

		↘		↗

 

由上表可知函數(shù)在上的最小值為．

因?yàn)?函數(shù)是上的減函數(shù)，是上的增函數(shù)，

且當(dāng)時(shí)，

所以要使方程即在上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，的取值范圍必須是.

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)以及函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用.