Question

8．已知向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$是垂直單位向量，|$\overrightarrow c|$=13，$\overrightarrow c•\overrightarrow a$=3，$\overrightarrow c•\overrightarrow b=4$，對任意實(shí)數(shù)t₁，t₂，求|$\overrightarrow c$-t₁$\overrightarrow a$-t₂$\overrightarrow b$|的最小值．（　�。�

• A． 12
• B． 13
• C． 14
• D． 144

Answer 1

分析 利用向量運(yùn)算得出|$\overrightarrow c$-t₁$\overrightarrow a$-t₂$\overrightarrow b$|的²=（$\overrightarrow c$-t₁$\overrightarrow a$-t₂$\overrightarrow b$）²展開，代入已知的條件，再運(yùn)用配方后求最小值．

解答 解：∵向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$是垂直單位向量，|$\overrightarrow c|$=13，$\overrightarrow c•\overrightarrow a$=3，$\overrightarrow c•\overrightarrow b=4$，
∴|$\overrightarrow c$-t₁$\overrightarrow a$-t₂$\overrightarrow b$|²=（$\overrightarrow c$-t₁$\overrightarrow a$-t₂$\overrightarrow b$）²=$\overrightarrow{c}$²-2t₁$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{c}$-2t₂$\overrightarrow$$•\overrightarrow{c}$+2t₁t₂$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$
=169+t₁²+t₂²-6t₁-8t₂
=（t₁-3）²+（t₂-4）²+144，
由此可得，當(dāng)且僅當(dāng)t₁=3，t₂=4時，|$\overrightarrow c$-t₁$\overrightarrow a$-t₂$\overrightarrow b$|的最小值為144．
∴$\overrightarrow c$-t₁$\overrightarrow a$-t₂$\overrightarrow b$|的最小值為12，
故選：A

點(diǎn)評 本題綜合考查了平面向量的運(yùn)算，運(yùn)用配方法求解雙變量的最小值問題，計算較麻煩，仔細(xì)計算，認(rèn)真些．