Question

19．在三角形ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，S是其面積，若2S=$\sqrt{3}$$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$．
（1）求∠B的大��；
（2）若S=3$\sqrt{3}$，三角形周長為6+4$\sqrt{3}$，求三角形各邊的長．

Answer 1

分析 （1）運用三角形面積公式和向量的數(shù)量積的定義，結(jié)合同角的商數(shù)關(guān)系，由特殊角的三角函數(shù)值，即可得到B；
（2）由三角形的面積公式和余弦定理，結(jié)合條件，解方程，即可得到a，b，c．

解答 解：（1）若2S=$\sqrt{3}$$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$，
則acsinB=-$\sqrt{3}$cacosB，
即sinB=-$\sqrt{3}$cosB，
即有tanB=-$\sqrt{3}$，
由0＜B＜π，可得B=$\frac{2π}{3}$；
（2）若S=3$\sqrt{3}$，三角形周長為6+4$\sqrt{3}$，
則$\frac{1}{2}$acsinB=3$\sqrt{3}$，即ac=12，①
a+b+c=6+4$\sqrt{3}$，②
b²=c²+a²-2accosB=c²+a²+ac，③
由①②③，可得
a=c=2$\sqrt{3}$，b=6．

點評 本題考查向量的數(shù)量積的定義和三角形的面積公式和余弦定理的運用，考查同角的基本關(guān)系式和解方程的運算能力，屬于中檔題．