Question

18． 如圖，AB是⊙O的直徑，C、F是⊙O上的點(diǎn)，AC是∠BAF的平分線，過點(diǎn)C作CD⊥AF，交AF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D．
（1）求證：CD是⊙O的切線．
（2）過C點(diǎn)作CM⊥AB，垂足為M，求證：AM•MB=DF•DA．

Answer 1

分析 （1）連OC證明OC⊥CD，即可說明CD是圓O的切線．
（2）利用切割線定理，以及射影定理證明AM•MB=DF•DA．

解答 證明：（1）連OC∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC，
∵∠FAC=∠OAC，
∴∠OCA=∠FAC，∴OC∥AD，
∵AD⊥CD，∴OC⊥CD，
∴CD是圓O的切線   …（5分）
（2）∵AC平分∠PAB，
 CM⊥AB，
CD⊥AF，
∴CD=CM，
又根據(jù)切割線定理有CD²=DF•DA，
∵△ACB為直角三角形且CM⊥AB，
∴CM²=AM•MB．
∴AM•MB=DF•DA   …（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的切線的證明，切割線定理以及射影定理的應(yīng)用，考查邏輯推理能力．