Question

（本小題滿分14分）設數(shù)列的首項R），且，（Ⅰ）若；（Ⅱ）若，證明：；（Ⅲ）若，求所有的正整數(shù)，使得對于任意，均有成立.

Answer 1

(1) a₂=－a₁+4=－a+4，且a₂∈（3，4）所以a₃=a₂－3=－a+1，且a₃∈（0，1）所以a₄=－a₃+4=a+3，且a₄∈（3，4）所以a₅=a₄－3="a"
(2)運用數(shù)列的遞推關系來分析作差法進行比較證明。
(3)對于參數(shù)a要進行分類討論，然后結合上一問的結論加以證明。

試題分析：（Ⅰ）解：因為
所以a₂=－a₁+4=－a+4，且a₂∈（3，4）所以a₃=a₂－3=－a+1，且a₃∈（0，1）所以a₄=－a₃+4=a+3，且a₄∈（3，4）所以a₅=a₄－3=a       ……4分
（Ⅱ）證明：當所以，        ……6分
②當所以， 綜上，     ……8分
（Ⅲ）解：①若因此，當k=4m（m∈N*）時，對所有的n∈N*，成立 …10分
②若
因此，當k=2m（m∈N*）時，對所有的n∈N*，成立 …12分
③若，因此k=m（m∈N*）時，對所有的n∈N*，成立  ……13分綜上，若0<a<1，則k=4m；，則k=2m；
若a=2，則k="m." m∈N*         ……14分
點評：該試題主要是涉及到了關于數(shù)列與不等式的綜合運用，屬中檔題。