Question

在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知曲線C₁：3x²+4y²=1，以平面直角坐標(biāo)系xoy的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，取相同的單位長(zhǎng)度建立極坐標(biāo)系，已知直線l：ρ（2cosθ-sinθ）=6．
（1）將曲線C₁上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)分別伸長(zhǎng)為原來(lái)的

3

、2倍后得到曲線C₂，試寫出直線l的直角坐標(biāo)方程和曲線C₂的參數(shù)方程；
（2）點(diǎn)P為曲線C₂上一點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線l的距離最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程,參數(shù)方程化成普通方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（1）由ρ（2cosθ-sinθ）=6利用

x=ρcosθ y=ρsinθ

即可得出直線l的直角坐標(biāo)方程．
設(shè)M（x，y）為曲線C₂上任一點(diǎn)，N（x′，y′）為曲線C₁上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，依題意

x= 3 x′ y=2y′

，可得

x′= x 3 y′= y 2

，代入曲線C₁的方程即可得出．進(jìn)而得出曲線C₂的參數(shù)方程．
（2）圓C₂的圓心為（0，0），利用點(diǎn)到直線的距離公式可得圓心到直線l的距離為d．因此曲線C₂上點(diǎn)P到直線l的距離最大值為d+r．

解答： 解：（1）由ρ（2cosθ-sinθ）=6可得：直線l的直角坐標(biāo)方程為2x-y-6=0．
設(shè)M（x，y）為曲線C₂上任一點(diǎn)，N（x′，y′）為曲線C₁上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，
依題意

x= 3 x′ y=2y′

，∴

x′= x 3 y′= y 2

，
∵N（x′，y′）為曲線C₁上，∴3(

x

3

)2+4(

y

2

)2=1．
∴曲線C₂的參數(shù)方程為：

x=cosθ y=sinθ

（θ為參數(shù)）．
（2）圓C₂的圓心為（0，0）圓心到直線的距離為d=

6

5

5

．
因此曲線C₂上點(diǎn)P到直線l的距離最大值為

6 5

5

+1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、橢圓及圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其參數(shù)方程、點(diǎn)到直線的距離公式，考察了推理能力和技能數(shù)列，屬于中檔題．