Question

已知圓的方程：x²+y²=2
（1）若點P（x，y）在圓上，求x+y的取值范圍；
（2）過點P（2，4）作圓的切線PA、PB，A、B為切點．
①求PA，PB的方程；
②求直線AB的方程．

Answer 1

考點：直線和圓的方程的應用

專題：計算題,直線與圓

分析：（1）可令x=

2

cosα，y=

2

sinα，運用兩角和的正弦公式，即可求得最大、最��；
（2）①設(shè)出切線方程，由相切的條件：d=r，化簡整理求出k，即可；
②直線AB可看作已知圓與以O(shè)P為直徑的圓的交線，求出未知圓的方程，運用兩圓方程相減，即可．

解答： 解：（1）由圓的方程：x²+y²=2，可令x=

2

cosα，y=

2

sinα，
則x+y=

2

（cosα+sinα）=2sin（α+

π

4

），則取得最大為2，最小為-2．
∴x+y的取值范圍是[-2，2]．
（2）①設(shè)過P的切線方程為：y-4=k（x-2），即kx-y+4-2k=0，
由相切的條件得，d=r即

|4-2k|

1+k2

=

2

，化簡得，k=1或k=7．
∴PA，PB的方程分別為：y-4=x-2或y-4=7（x-2）即有y=x+2或y=7x-10．
②直線AB可看作已知圓與以O(shè)P為直徑的圓的交線，
以O(shè)P為直徑的圓的方程為：（x-1）²+（y-2）²=1+4，即x²+y²-2x-4y=0
將兩圓的方程相減得，2x+4y=2即x+2y-1=0．
∴直線AB的方程是x+2y-1=0．

點評：本題考查直線與圓的方程，及位置關(guān)系的判斷，考查基本的運算能力，屬于中檔題．