Question

甲、乙兩籃球運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行定點(diǎn)投籃，每人各投4個(gè)球，甲投籃命中的概率為

1

2

，乙投籃命中的概率為

2

3

（Ⅰ）求甲至多命中2個(gè)且乙至少命中2個(gè)的概率；
（Ⅱ）若規(guī)定每投籃一次命中得3分，未命中得-1分，求乙所得分?jǐn)?shù)η的概率分布和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）甲至多命中2個(gè)且乙至少命中2個(gè)包含的兩個(gè)事件是相互獨(dú)立事件，分別做出甲至多命中2個(gè)球的概率和乙至少命中兩個(gè)球的概率，根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率公式得到結(jié)果．
（II）乙所得分?jǐn)?shù)為η，η可能的取值-4，0，4，8，12，當(dāng)變量是-4時(shí)，表示一個(gè)球也沒(méi)進(jìn)，當(dāng)變量是0時(shí)，表示只進(jìn)一個(gè)球，當(dāng)變量是4時(shí)，表示進(jìn)了2個(gè)球，當(dāng)變量是8時(shí)，表示進(jìn)了3個(gè)球，當(dāng)變量是12時(shí)，表示進(jìn)了4個(gè)球，結(jié)合變量對(duì)應(yīng)的事件和獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)寫(xiě)出分布列和期望．

解答：解：（Ⅰ）甲至多命中2個(gè)且乙至少命中2個(gè)包含的兩個(gè)事件是相互獨(dú)立事件，
設(shè)“甲至多命中2個(gè)球”為事件A，“乙至少命中兩個(gè)球”為事件B，由題意得：P(A)=(

1

2

)4+

C

1 4

(

1

2

)1•(

1

2

)3+

C

2 4

(

1

2

)2•(

1

2

)2=

11

16

P(B)=

C

2 4

(

2

3

)2×(

1

3

)2+

C

3 4

(

2

3

)3×

1

3

+(

2

3

)4=

8

9

∴甲至多命中2個(gè)球且乙至少命中2個(gè)球的概率為：
P(A)•P(B)=

11

16

×

8

9

=

11

18

（Ⅱ）乙所得分?jǐn)?shù)為η
η可能的取值-4，0，4，8，12，
P（η=-4）=

C

0 4

(

1

3

)4=

1

81

，
P（η=0）=

C

1 4

×

2

3

×(

1

3

)3=

8

81

P（η=4）=C₄²(

2

3

)2(

1

3

)2=

24

81

P（η=8）=

C

3 4

(

2

3

)3×

1

3

=

32

81

P（η=-4）=

C

4 4

(

2

3

)4=

16

81

分布列如下：

∴Eη=-4×

1

81

+0×

8

81

+4×

24

81

+8×

32

81

+12×

16

81

=

20

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，是一個(gè)綜合題，解題時(shí)注意進(jìn)球的個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)的是乙所得的分?jǐn)?shù)，注意分?jǐn)?shù)與進(jìn)球個(gè)數(shù)的對(duì)應(yīng)．