Question

△ABC中，AB=4，AC=4

2

，∠BAC=45°，以AC的中線BD為折痕，將△ABD沿BD折起，構(gòu)成二面角A-BD-C．在面BCD內(nèi)作CE⊥CD，且CE=

2

．
（Ⅰ）求證：CE∥平面ABD；
（Ⅱ）如果二面角A-BD-C的大小為90°，求二面角B-AC-E的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面平行的判定,二面角的平面角及求法

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）由已知得△ABC為等腰直角三角形，由D為AC的中點(diǎn)得BD⊥AC，以AC的中線BD為折痕翻折后仍有BD⊥CD，由此能證明CE∥平面ABD．
（2）設(shè)AC中點(diǎn)為F，AE中點(diǎn)為G，則∠BFG為二面角B-AC-E的平面角，由此能求出二面角B-AC-E的余弦值．

解答： （1）證明：由AB=4，AC=4

2

，∠BAC=45°，
得BC=4，所以△ABC為等腰直角三角形，
由D為AC的中點(diǎn)得BD⊥AC，以AC的中線BD為折痕翻折后仍有BD⊥CD，
因?yàn)镃E⊥CD，所以CE∥BD，
又CE?平面ABD，BD?平面ABD，
所以CE∥平面ABD．
（2）解：如果二面角A-BD-C的大小為90°，由AD⊥BD得AD⊥平面BDC，因此AD⊥CE，
又CE⊥CD，所以CE⊥平面ACD，從而CE⊥AC．
由題意AD=DC=2

2

，所以Rt△ADC中，AC=4．
設(shè)AC中點(diǎn)為F，因?yàn)锳B=BC=4，所以BF⊥AC，且BF=2

3

，
設(shè)AE中點(diǎn)為G，則FG∥CE，由CE⊥AC得FG⊥AC，
所以∠BFG為二面角B-AC-E的平面角，
連結(jié)BG，在△BCE中，因?yàn)?span id="9rkv1ub" class="MathJye">BC=4，CE=

2

，∠BCE=135°，
所以BE=

26

．在Rt△DCE中DE=

(2 2 )2+( 2 )2

=

10

，
于是在Rt△ADE中，AE=

(2 2 )2+( 10 )2

=3

2

．
在△ABE中，BG2=

1

2

AB2+

1

2

BE2-

1

4

AE2=

33

2

，
所以在△BFG中，cos∠BFG=

12+ 1 2 - 33 2

2•2 3 • 2 2

=-

6

3

．
因此二面角B-AC-E的余弦值為-

6

3

．

點(diǎn)評：本題考查直線與平面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．