Question

已知函數f（x）=-cos²2x+

3

sin2xcos2x+

3

2

．
（1）將f（x）化成Asin（ωx+φ）+B的形成，并求出其周期；
（2）當x∈[-

π

12

，

π

6

]，求f（x）的值域并指出取得最大最小值的x的值．

Answer 1

考點：三角函數的最值,三角函數中的恒等變換應用

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（1）直接利用二倍角公式以及兩角和與差的三角函數，將f（x）化成Asin（ωx+φ）+B的形成，然后求出其周期；
（2）通過x∈[-

π

12

，

π

6

]，求出相位的范圍，然后利用三角函數的最值求解f（x）的值域并指出取得最大最小值的x的值．

解答： 解：（1）函數f（x）=-cos²2x+

3

sin2xcos2x+

3

2

=

1

2

（1+cos4x）+

3

2

sin4x+

3

2

=（sin（4x+

π

6

）+2，
T=

2π

4

=

π

2

．
（2）∵x∈[-

π

12

，

π

6

]，
∴-

π

6

≤4x+

π

6

≤

5π

6

，
-

1

2

≤sin（4x+

π

6

）≤1，
當4x+

π

6

=

π

2

時，即x=

π

6

時，取得最大值3，
當x=-

π

6

時，函數取得最小值：

3

2

．

點評：本題考查三角函數的化簡求值，二倍角公式的應用，考查計算能力．