Question

5．設(shè)f（x）為定義在R上的偶函數(shù)，且f（x+1）=-f（x），當x∈[0，1]，f（x）=x²+1
（1）f（x）在（1，2）上增，（2，3）上減           
（2）f（2016）=1
（3）f（x）圖象關(guān)于x=2k+1（k∈Z）對稱
（4）當x∈[3，4]時，f（x）=（x-4）²+1
則正確的個數(shù)有（　�。﹤�．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 由題意可得函數(shù)f（x）是周期為2的周期函數(shù)，當x∈[0，1]，f（x）=x²+1，當x∈[-1，0]時，f（x）=x²+1，再根據(jù)f（x）在一個周期[-1，1]上的圖象，數(shù)形結(jié)合逐一判斷各個選項是否正確，從而得出結(jié)論．

解答 解：∵f（x）為定義在R上的偶函數(shù)，且f（x+1）=-f（x），∴f（x+2）=f（x），
故函數(shù)f（x）是周期為2的周期函數(shù)．
當x∈[0，1]，f（x）=x²+1，故當x∈[-1，0]時，f（x）=x²+1．
故函數(shù)f（x）在一個周期[-1，1]上的圖象如圖所示：
故有 f（x）在（1，2）上遞減，（2，3）上遞增，故（1）錯誤；
f（2016）=f（0）=1，故（2）正確；
函數(shù)f（x）圖象關(guān)于x=2k+1（k∈Z）對稱，故（3）正確；
（4）當x∈[3，4]時，x-4∈[-1，0]，f（x）=（x-4）²+1，故（4）正確，
故選：C．

點評 本題主要考查函數(shù)的圖象的對稱性，函數(shù)的周期性和單調(diào)性，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，屬于中檔題．