Question

（2012•海淀區(qū)一模）如圖，以△ABC的邊AB為直徑的半圓交AC于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，EF⊥AB于點(diǎn)F，AF=3BF，BE=2EC=2，那么∠CDE=

60°

，CD=

3 13

13

．

Answer 1

分析：如圖所示，設(shè)圓心為點(diǎn)O，半徑為R，連接OE，AE．利用已知AF=3FB，AF+FB=2R，可得FB=

1

2

R，又EF⊥AB，可得OE=EB，即△OEB為等邊三角形，從而利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)即可得出∠CDE的大�。灰部汕蟪鯝E．進(jìn)而求出AC，再利用割線定理即可得出CD．

解答：解：如圖所示，設(shè)圓心為點(diǎn)O，半徑為R，連接OE，AE．
由AB為⊙O的直徑，∴∠AEB=90°，∴AE⊥CE．
∵AF=3FB，AF+FB=2R，
∴FB=

1

2

R，又EF⊥AB，∴OE=EB，即△OEB為等邊三角形．
∴∠ABE=60°．
∴∠CDE=∠ABE=60°；
∴AE=BEtan60°=2

3

．
在Rt△ACE，AC=

AE2+CE2

=

(2 3 )2+12

=

13

．
由割線定理可得：CD•CA=CE•CB，
∴CD=

1×3

13

=

3 13

13

．
故答案為60°； 

3 13

13

．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了圓的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、割線定理等基礎(chǔ)知識(shí)，考查了推理能力和計(jì)算能力．