Question

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BA⊥平面AA₁C₁C，AB=2

2

，AA₁=AC=4，∠A₁C₁C=

π

3

．
（1）求證：AB₁⊥BC；
（2）求直線B₁C₁與平面B₁A₁C所成的角；
（3）求點C₁到平面AB₁C的距離．

Answer 1

考點：點、線、面間的距離計算,直線與平面所成的角

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）∠AB₁C₁是異面直線AB₁，BC所成的角，由已知條件利用勾股定理得到AB12+B1C12=AC12，由此能證明AB₁⊥BC．
（2）連接AC₁，交A₁C于點O，由菱形性質得C₁O⊥A₁C，由線面垂直得C₁O⊥B₁A₁，從而得到∠C₁B₁O就是直線B₁C₁與平面B₁A₁C所成的角，由此能求出直線B₁C₁與平面B₁A₁C所成的角．
（3）設點C₁到平面AB₁C的距離為h，由VB1-C1AC=VC1-B1AC，用等積法能求出點C₁到平面AB₁C的距離．

解答： （1）證明：∵BC∥B₁C₁，∴∠AB₁C₁是異面直線AB₁，BC所成的角，…（1分）
∵BA⊥平面AA₁C₁C，AB=2

2

，AA₁=AC=4，
∴在直角△AA₁B₁中，AB₁=2

6

，在直角△A₁B₁C₁中，B₁C₁=2

6

，
∵∠A1C1C=

π

3

，∴∠AA1C1=

2π

3

，
∴在△AA₁C₁中，AC1=4

3

，
∴在△AB₁C₁中，AB12+B1C12=AC12，…（3分）
∴△AB₁C₁為直角三角形，∴∠AB1C1=

π

2

，∴AB₁⊥BC．…（4分）
（2）解：連接AC₁，交A₁C于點O，
∵四邊形AA₁C₁C為菱形，∴C₁O⊥A₁C，
∵BA⊥平面AA₁C₁C，B₁A₁∥BA，∴B₁A₁⊥平面AA₁C₁C，∴C₁O⊥B₁A₁，
∵A₁C，B₁A₁是平面B₁A₁C內(nèi)的兩條相交直線，
∴C₁O⊥平面B₁A₁C，…（6分）
∴∠C₁B₁O就是直線B₁C₁與平面B₁A₁C所成的角，…（7分）
∵∠A1C1C=

π

3

，∴△A₁C₁C為正三角形，∴C1O=2

3

，
∴在直角△C₁OB₁中，cos∠C₁B₁O=

C1O

B1C1

=

2 3

2 6

=

2

2

，
∴∠C1B1O=

π

4

，∴直線B₁C₁與平面B₁A₁C所成的角為

π

4

．…（9分）
（3）解：設點C₁到平面AB₁C的距離為h，
在直角△B₁A₁C中，B1C=2

6

，∴S△B1AC=4

5

，且S△C1AC=4

3

，…（10分）
∵VB1-C1AC=VC1-B1AC，…（11分）
∴

1

3

×S△C1AC×B1A1=

1

3

×S△B1AC×h，
∴

1

3

×4

3

×2

2

=

1

3

×4

5

×h，
解得h=

2 30

5

，
∴點C₁到平面AB₁C的距離為

2 30

5

．…（13分）

點評：本題考查異面直線垂直的證明，考查直線與平面所成的角的求法，考查點到平面的距離的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．