Question

如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D，E分別是AB，BB₁的中點(diǎn)，AA₁=AC=CB=

2

2

AB，
（1）證明：BC₁∥平面A₁CD；
（2）AA₁=2，求三棱錐C-A₁DE的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,直線與平面平行的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）通過證明BC₁平行平面A₁CD內(nèi)的直線DG，利用直線與平面平行的判定定理證明BC₁∥平面A₁CD
（2）證明CD⊥平面ABB₁A₁，DE⊥A₁D，即可求出三棱錐C-A₁DE的體積．

解答： （1）證明：連結(jié)AC₁交A₁C于點(diǎn)G，則F為AC₁的中點(diǎn)，
又D是AB中點(diǎn)，連結(jié)DF，則BC₁∥DG，
因?yàn)镈G?平面A₁CD，BC₁?平面A₁CD，
所以BC₁∥平面A₁CD．
（2）解：因?yàn)橹崩庵鵄BC-A₁B₁C₁，所以AA₁⊥CD，
由已知AC=CB，D為AB的中點(diǎn)，所以CD⊥AB，
又AA₁∩AB=A，于是，CD⊥平面ABB₁A₁，
設(shè)AB=2

2

，則AA₁=AC=CB=2，得∠ACB=90°，
CD=

2

，A₁D=

6

，DE=

3

，A₁E=3
故A₁D²+DE²=A₁E²，即DE⊥A₁D，
所以V_C-A1DE=

1

3

×

1

2

×

6

×

3

×

2

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行的判定定理的應(yīng)用，三棱錐的體積的求法，考查空間想象能力與計(jì)算能力．