Question

19．已知函數(shù)f（x）是定義域在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時，f（x）=x²-2x．
（1）求出函數(shù)f（x）在R上的解析式；
（2）寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)f（x）為定義域為R的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時，f（x）=x²-2x，我們根據(jù)定義域為R的奇函數(shù)的圖象必過原點，則f（-x）=-f（x），即可求出函數(shù)f（x）在R上的解析式；
（2）根據(jù)（1）中分段函數(shù)的解析式，我們易畫出函數(shù)f（x）的圖象，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）是定義域在R上的奇函數(shù)，
∴當(dāng)x=0時，f（0）=0；
當(dāng)x＜0時，-x＞0，則f（-x）=x²+2x．
∵f（x）是奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x）
∴f（-x）=x²+2x=-f（x），
即f（x）=-x²-2x．
綜上：f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}-2x}\\ 0\\{-{x^2}-2x}\end{array}\begin{array}{l}{x＞0}\\{x=0}\\{x＜0}\end{array}}\right.$．
（2）函數(shù)f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}-2x}\\ 0\\{-{x^2}-2x}\end{array}\begin{array}{l}{x＞0}\\{x=0}\\{x＜0}\end{array}}\right.$的圖象如下圖所示：
則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為為[1，+∞），（-∞，-1]，
函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為為[-1，1]．

點評 本題主要考查函數(shù)解析式的求解，以及函數(shù)單調(diào)區(qū)間的判斷，其中根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，求出函數(shù)的解析式是解答本題的關(guān)鍵．