Question

11．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．若角A，B，C成等差數(shù)列，邊a，b，c成等比數(shù)列，則sinA•sinC的值為（　�。�

• A． $\frac{3}{4}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{4}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{1}{4}$

Answer 1

分析 依題意，可求得B=$\frac{π}{3}$，利用正弦定理即可求得sinAsinC；另解，求得B=$\frac{π}{3}$，利用余弦定理$\frac{1}{2}$=cosB可求得a²+c²-ac=ac，從而可求得答案．

解答 解：∵△ABC中，A，B，C成等差數(shù)列，
∴2B=A+C，又A+B+C=π，
∴B=$\frac{π}{3}$，…（6分）
又b²=ac，由正弦定理得sinAsinC=sin²B=$\frac{3}{4}$ …（12分）
另解：b²=ac，$\frac{1}{2}$=cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-ac}{2ac}$，…（6分）
由此得a²+c²-ac=ac，得a=c，
所以A=B=C，sinAsinC=$\frac{3}{4}$．
故選：A．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查正弦定理與余弦定理，熟練掌握兩個(gè)定理是靈活解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．