Question

1．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥底面ABC，△ABC是等邊三角形，D是AC的中點．
（1）證明：平面C₁BD⊥平面A₁ACC₁；
（2）若E為線段AB₁上的動點，證明：三棱錐E-BC₁D的體積為定值．

Answer 1

分析 （1）證明平面C₁BD⊥平面A₁ACC₁，可利用面面垂直的判斷，證明平面C₁BD經過平面A₁ACC₁的一條垂線，由等腰三角形中線性質得BD垂直AC，再由已知AA₁⊥底面ABC，得BD垂直AA₁，然后利用線面垂直的判斷得BD⊥平面A₁ACC₁，則結論得到證明；
（2）證明AB₁∥平面E-BC₁D，說明線段AB₁上的動點E到底面BC₁D的距離為定值，則結論得證．

解答 證明：（1）如圖，
∵△ABC是等邊三角形，D是AC的中點，∴BD垂直AC，
∵AA₁⊥底面ABC，∴BD垂直AA₁，
又AA₁∩AC=A，∴BD⊥平面A₁ACC₁，
∵BD?平面C₁BD，
∴平面C₁BD⊥平面A₁ACC₁；
（2）連接B₁C，交BC₁于O，
連接OD，則OD∥AB₁，
∴AB₁∥平面BC₁D，
又E為線段AB₁上的動點，∴E到平面BC₁D的距離相等，
∴三棱錐E-BC₁D的體積為定值．

點評 本小題主要考查空間線面關系、幾何體的體積等知識，考查數(shù)形結合、化歸與轉化的數(shù)學思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力，是中檔題．