Question

16．已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+$\frac{π}{3}$）+cos（ωx+$\frac{π}{6}$）（其中ω＞0）的圖象上相鄰的最低點(diǎn)的距離為4．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）圖象上的兩點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為-1，2，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，求△AOB的面積．

Answer 1

分析 （1）首先通過三角恒等變換，把函數(shù)關(guān)系式變形成余弦型函數(shù)，進(jìn)一步利用整體思想求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（2）直接利用函數(shù)的關(guān)系式，求出點(diǎn)A和B的坐標(biāo)，最后求出三角形的面積．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=sin（ωx+$\frac{π}{3}$）+cos（ωx+$\frac{π}{6}$）
=$\frac{1}{2}sinωx+\frac{\sqrt{3}}{2}cosωx$$-\frac{1}{2}sinωx+\frac{\sqrt{3}}{2}cosωx$
=$\sqrt{3}cosωx$
由于函數(shù)圖象上相鄰的最低點(diǎn)的距離為4，
所以：T=$\frac{2π}{ω}=4$
解得：$ω=\frac{π}{2}$
所以函數(shù)的解析式為：$f（x）=cos\frac{π}{2}x$．
令：$\frac{π}{2}+2kπ≤\frac{π}{2}x≤2kπ+\frac{3π}{2}$（k∈Z）
解得：1+2k≤x≤2k+3（k∈Z）
所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為：[1+2k，2k+3]（k∈Z）．
（2）由（1）得：$f（x）=cos\frac{π}{2}x$，
由于函數(shù)$f（x）=cos\frac{π}{2}x$圖象上的兩點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為-1，2，0為坐標(biāo)原點(diǎn)
所以：把點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入解析式求得：
點(diǎn)A（-1，0），點(diǎn)B（2，-$\sqrt{3}$），根據(jù)點(diǎn)的位置正好在一個(gè)周期內(nèi)，
所以：S_△ABC=$\frac{1}{2}•1•\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，余弦型函數(shù)單調(diào)區(qū)間的確定，利用函數(shù)的圖象求三角形的面積．