【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為，離心率為，圓：過橢圓的三個頂點，過點的直線（斜率存在且不為0）與橢圓交于兩點．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

（2）證明：在軸上存在定點，使得為定值，并求出定點的坐標(biāo)．

【答案】（1）；（2）見解析，定點

【解析】

（1）先判斷圓經(jīng)過橢圓的上、下頂點和右頂點，令圓方程中的，得，即．再由求即可.

（2）設(shè)在軸上存在定點，使得為定值，根據(jù)題意，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立可得，再運(yùn)算

將韋達(dá)定理代入化簡有與k無關(guān)即可.

（1）由圓方程中的時，的兩根不為相反數(shù)，

故可設(shè)圓經(jīng)過橢圓的上、下頂點和右頂點，

令圓方程中的，得，即有．

又，解得．

∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

（2）證明：設(shè)在軸上存在定點，使得為定值，

由（1）可得，設(shè)直線的方程為，

聯(lián)立可得，

設(shè)，則，

，

要使為定值，只需，解得．

∴在軸上存在定點，使得為定值，定點的坐標(biāo)為．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)， ．

（1）求函數(shù)的極值；

（2）若不等式對恒成立，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)若函數(shù)存在5個零點，則實數(shù)的取值范圍為________.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】給出下列五個命題：

①直線平行于平面內(nèi)的一條直線，則；

②若是銳角三角形，則；

③已知是等差數(shù)列的前項和，若，則；

④當(dāng)時，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為.

其中正確命題的序號為___________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，頂點P在底面的投影恰為正方形ABCD的中心且，設(shè)點M，N分別為線段PD，PO上的動點，已知當(dāng)取得最小值時，動點M恰為PD的中點，則該四棱錐的外接球的表面積為____________．

A.B.C.D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知方程有4個不同的根，則實數(shù)的取值范圍是

A.B.C.D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為，離心率為，直線與橢圓C交于A，B兩點，且．

(1)求橢圓C的方程．

(2)不經(jīng)過點的直線被圓截得的弦長與橢圓C的長軸長相等，且直線與橢圓C交于D，E兩點，試判斷的周長是否為定值?若是，求出定值；若不是，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)為兩個平面，則的充要條件是（ ）

A. 內(nèi)有無數(shù)條直線與β平行B. 垂直于同一平面

C. ，平行于同一條直線D. 內(nèi)有兩條相交直線與平行

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】2019年“非洲豬瘟”過后，全國生豬價格逐步上漲，某大型養(yǎng)豬企業(yè)，欲將達(dá)到養(yǎng)殖周期的生豬全部出售，根據(jù)去年的銷售記錄，得到銷售生豬的重量的頻率分布直方圖（如圖所示）.

（1）根據(jù)去年生豬重量的頻率分布直方圖，估計今年生豬出欄（達(dá)到養(yǎng)殖周期）時，生豬重量達(dá)不到270斤的概率（以頻率代替概率）；

（2）若假設(shè)該企業(yè)今年達(dá)到養(yǎng)殖周期的生豬出欄量為5000頭，生豬市場價格是30元/斤，試估計該企業(yè)本養(yǎng)殖周期的銷售收入是多少萬元；

（3）若從本養(yǎng)殖周期的生豬中，任意選兩頭生豬，其重量達(dá)到270斤及以上的生豬數(shù)為隨機(jī)變量，試求隨機(jī)變量的分布列及方差.

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