試問(wèn):當(dāng)且僅當(dāng)a,b滿足什么條件時(shí),對(duì)橢圓C1=1(a>b>0)上任意一點(diǎn)P,均存在以P為頂點(diǎn)與圓C0x2+y2=1外切且與C1內(nèi)接的平行四邊形?證明你的結(jié)論。

答案:
解析:

解:如圖所示,圓外切平行四邊形一定是菱形,圓心即菱形中心,所求條件為

必要性的證明:

設(shè)橢圓C1上任意一點(diǎn)P(r1cosθ,r1sinθ),所以有Q(r2cos(θ+),r2sin(θ+)),

其中|OP|=r1,|OQ|=r2,代入橢圓方程中,得

又菱形PQRS與單位圓C0外切,所以Rt△POQ斜邊PQ上的高h=1。而

充分性的證明:設(shè),P是橢圓Cl上任意一點(diǎn),過(guò)POC1的弦PR,再過(guò)O作與PR垂直的弦QS,則PQRS為橢圓C1的內(nèi)接菱形。

設(shè)|OP|=r1,|OQ|=r2,則P的坐標(biāo)為(r1cosθ,r1sinθ),Q的坐標(biāo)為(r2cos(θ+),r2sin(θ+)),

代入橢圓方程,得

又在Rt△POQ中,斜邊PQ上的高h=1,則h=

=

同理,點(diǎn)OQR,RS,SP的距離都是1,所以菱形PQRS與單位圓C0外切。


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x2
a2
+
y2
b2
=1 (a>b>0).試問(wèn):當(dāng)且僅當(dāng)a,b滿足什么條件時(shí),對(duì)C1上任意一點(diǎn)P,均存在以P為頂點(diǎn),與C0外切,與C1內(nèi)接的平行四邊形?并證明你的結(jié)論.

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