5．證明函數(shù)f（x）=log2（x2+1）在（0，+∞）遞增．

分析 利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明內(nèi)函數(shù)在（0，+∞）上遞增，外函數(shù)對數(shù)函數(shù)為增函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性得答案．

解答 證明：令g（x）=x2+1，
設(shè)x1，x2為（0，+∞）的任意兩個實數(shù)，且x1＜x2，
則$g（{x}_{1}）-g（{x}_{2}）={{x}_{1}}^{2}+1-{{x}_{2}}^{2}-1$=（x1-x2）（x1+x2），
∵x1＞0，x2＞0，且x1＜x2，
∴x1+x2＞0，x1-x2＜0，則（x1-x2）（x1+x2）＜0，
即g（x1）＜g（x2），函數(shù)g（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，
又外函數(shù)對數(shù)函數(shù)為增函數(shù)，∴函數(shù)f（x）=log2（x2+1）在（0，+∞）遞增．

點評 本題考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，考查了利用定義法證明函數(shù)在某個區(qū)間上的單調(diào)性，是基礎(chǔ)題．

練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

15．已知函數(shù)y=f（x）=4x-3×2x+4．
（1）設(shè)t=2x，x∈[-2，2]，求t的最大值與最小值；
（2）若x∈[-2，2]時，f（x）＜m（m-2）恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

16．已知數(shù)列{an}的各項為正數(shù)，其前n項和Sn=2（an-1），設(shè)bn=2-$\frac{n}{5×{2}^{n-1}}$an（n∈N）．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式．
（2）設(shè)數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，求T的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

13．（1）當(dāng)x＞0時，研究函數(shù)f（x）=1n（1+$\frac{1}{x}$）-$\frac{2}{x+1}$的單調(diào)性，極值和零點的個數(shù)；
（2）從點（1，1）引曲線y=x1n（1+$\frac{1}{x}$）（x＞0）的切線．能引出幾條？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

20．某人從點A向東位移60m到達(dá)點B，又從點B向東偏北30°方向位移50m到達(dá)C點，又從點C向北偏東60°方向位移30m到達(dá)D點，選用適當(dāng)?shù)谋壤咦鲌D，求點D相對于點A的位置．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

10．把下列根式表示為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，把分?jǐn)?shù)指數(shù)冪表示為根式的形式：
①（a-b）${\;}^{-\frac{3}{4}}$（a＞b）；
②$\root{5}{（ab）^{2}}$；
③$\root{3}{（x-1）^{5}}$；
④$\frac{1}{\root{3}{{a}^{2}}}$；
⑤（a-b）${\;}^{\frac{3}{7}}$．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

17．f（x）=-$\frac{1}{3}$×4-x+1+b，等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，點Pn（n，Sn）（n∈N*）均在函數(shù)y=f（x）上．
（1）求b的值及數(shù)列{an}的通項公式；
（2）設(shè)bn=log2（83×an），記數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，是否存在k∈N*，使得$\frac{{T}_{1}}{1}$+$\frac{{T}_{2}}{2}$+…+$\frac{{T}_{n}}{n}$＜k對任意n∈N*恒成立？若存在，求出k的最小值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

14．函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，1]上有定義，f（0）=f（1），如果對于任意不同的x1，x2屬于區(qū)間[0，1]，都有|f（x1）-f（x2）|＜|x1-x2|，求證：|f（x1）-f（x2）|＜$\frac{1}{2}$．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

1．設(shè)函數(shù)f（x）=|lgx|，則關(guān)于x的方程f2（x）+mf（x）+n=0恰有三個不同實數(shù)解的充要條件是（　�。�
A．m＜0且n＜0B．m＞0且n＜0C．m＜0且n=0D．m＞0且n=0

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