Question

16．已知數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)為正數(shù)，其前n項(xiàng)和S_n=2（a_n-1），設(shè)b_n=2-$\frac{n}{5×{2}^{n-1}}$a_n（n∈N）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，求T的最大值．

Answer 1

分析 （1）通過S_n=2（a_n-1）可知當(dāng)n≥2時(shí)S_n-1=2（a_n-1-1），利用a_n=S_n-S_n-1計(jì)算可知a_n=2a_n-1，進(jìn)而可知數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)、公比均為2的等比數(shù)列，計(jì)算即得結(jié)論；
（2）通過（1）可知a_n=2ⁿ，進(jìn)而b_n=5-$\frac{2}{5}$n，利用等差數(shù)列的求和公式、配方可知T_n=-$\frac{1}{5}$（n-12）²+$\frac{144}{5}$，進(jìn)而可得結(jié)論．

解答 解：（1）∵S_n=2（a_n-1），
∴當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1=2（a_n-1-1），
∴a_n=S_n-S_n-1
=2（a_n-1）-2（a_n-1-1）
=2（a_n-a_n-1），
整理得：a_n=2a_n-1，
又∵S₁=2（a₁-1），即a₁=2，
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)、公比均為2的等比數(shù)列，
∴a_n=2ⁿ；
（2）由（1）可知a_n=2ⁿ，
∴b_n=2-$\frac{n}{5×{2}^{n-1}}$a_n=2-$\frac{n}{5×{2}^{n-1}}$•2ⁿ=5-$\frac{2}{5}$n，
∴T_n=5n-$\frac{2}{5}$•$\frac{n（n+1）}{2}$=-$\frac{1}{5}$n²+$\frac{24}{5}$n=-$\frac{1}{5}$（n-12）²+$\frac{144}{5}$，
∴當(dāng)n=12時(shí)，取T_n最大值$\frac{144}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．