Question

16．如圖，菱形ABCD與正三角形BCE的邊長(zhǎng)均為2，它們所在平面互相垂直，F(xiàn)D⊥平面ABCD，且FD=$\sqrt{3}$．
（I）求證：EF∥平面ABCD；
（Ⅱ）若∠CBA=60°，求二面角A-FB-E的余弦值．

Answer 1

分析 （I）根據(jù)線(xiàn)面平行的判定定理即可證明EF∥平面ABCD；
（Ⅱ），建立空間坐標(biāo)系，利用向量法即可求二面角A-FB-E的余弦值．

解答 解：（Ⅰ）如圖，過(guò)點(diǎn)E 作 EH⊥BC于H，連接HD，
∴EH=$\sqrt{3}$．
∵平面ABCD⊥平面BCE，EH?平面BCE，
平面ABD∩平面BCE=BC，
∴EH⊥平面ABCD，
又∵FD⊥平面ABCD，F(xiàn)D=$\sqrt{3}$，
∴FD∥EH．FD=EH
∴四邊形EHDF 為平行四邊形．
∴EF∥HD
∵EF?平面ABCD，HD?平面ABCD，
∴EF∥平面ABCD
（Ⅱ）連接HA 由（Ⅰ），得H 為BC 中點(diǎn)，
又∠CBA=60°，△ABC 為等邊三角形，
∴AH⊥BC，
分別以HB，HA，HE 為x，y，z 軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系H-xyz．
則 B（1，0，0），F(xiàn)（-2，$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$），E（0，0，$\sqrt{3}$），A（0，$\sqrt{3}$，0）
$\overrightarrow{BF}$=（-3，$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{BA}$=（-1，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{BE}$=（-1，0，$\sqrt{3}$），
設(shè)平面EBF 的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z）．
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BF}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BE}=0}\end{array}\right.$ 得 $\left\{\begin{array}{l}{-3x+\sqrt{3}y+\sqrt{3}z=0}\\{-x+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$
令z=1，得$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$，2，1）．
設(shè)平面ABF的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）．
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BF}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BA}=0}\end{array}\right.$ 得$\left\{\begin{array}{l}{-3x+\sqrt{3}y+\sqrt{3}z=0}\\{-x+\sqrt{3}y=0}\end{array}\right.$
令y=1，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，1，2）
cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{3+2+2}{\sqrt{3+4+1}•\sqrt{3+4+1}}$=$\frac{7}{\sqrt{8}•\sqrt{8}}$=$\frac{7}{8}$，
∵二面角A-FB-E是鈍二面角，
∴二面角A-FB-E的余弦值是-$\frac{7}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查空間中線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面的位置關(guān)系和空間中角的計(jì)算，涉及二面角的平面角，傳統(tǒng)方法和坐標(biāo)向量法均可，考查的知識(shí)面較廣，難度中等．