Question

1．如圖所示，四邊形MNPQ為圓內(nèi)接四邊形，對角線MP與NQ相交于點S，R為MN與QP延長線的交點，且MN=NP，∠MPQ=60°，△MPR為等腰三角形．
（Ⅰ）求∠PQM的大��；
（Ⅱ）若MN=3，求QM的長．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用等腰三角形的性質(zhì)，即可求∠PQM的大小；
（Ⅱ）若MN=3，求出MP，PQ，即可求QM的長．

解答 解：（Ⅰ）∵M(jìn)N=NP，∴∠NMP=∠NPM，
∵△MPR為等腰三角形，PM=PR，∴∠NMP=∠R
∵∠MPQ=60°，
∴∠PMR=∠R=30°，
∴∠PQM=∠MQN+∠NQP=∠MPN+∠NMP=60°；
（Ⅱ）∵M(jìn)N=NP，
∴∠NPM=30°，
∵∠MPQ=60°，∴∠NPQ=90°，
∴PQ=3tan60°=3$\sqrt{3}$
∵M(jìn)N=3，
∴MP=2×$3×\frac{\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$，
∵∠MPQ=60°，
∴QM=3$\sqrt{3}$．

點評 本題考查等腰三角形的性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．