Question

11．如圖是某直四棱柱被平面α所截得的部分，底面ABCD是矩形，側(cè)棱GC、ED、FB都垂直于底面ABCD，GC=3，AB=2$\sqrt{2}$，BC=$\sqrt{5}$．
四邊形AEGF為菱形，經(jīng)過C且垂直于AG的平面與EG、AG、FG分別交于點M、H、N；
（1）求證：CN⊥BH；
（2）求面AFGE與底面ABCD所成二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理證明CN⊥面BAH即可證明CN⊥BH；
（2）建立坐標(biāo)系求出平面的法向量，利用向量法進(jìn)行求解即可．

解答 （1）證明：連結(jié)BH，由題知AB⊥面BCGF
又∵CN?面BCGF，∴AB⊥CN                 
∵AG⊥面CMN，∴AG⊥CN                         
又∵AG∩AB=A，AG、AB?面BAH，
∴CN⊥面BAH
又∵BH?面BAH，∴CN⊥BH                                
（2）解：以DA、DC、DE為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系
∵四邊形AEFG為菱形，可設(shè)AE=EG=a，DE=b
由AE²=AD²+DE²，得a²=5+b²，①
由EG²=（GC-DE）²+DC²，得 a²=（3-b）²+8，②
以上面兩式解得：a=3，b=2                
∴E（0，0，2）、A（$\sqrt{5}$，0，0）、G（0，2$\sqrt{2}$，3）
∴$\overrightarrow{AE}$=（-$\sqrt{5}$，0，2）、$\overrightarrow{AG}$=（-$\sqrt{5}$，2$\sqrt{2}$.3），
設(shè)$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）為面AFGE的一個法向量，
則由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AG}=0}\end{array}\right.$，解得$\overrightarrow{n}$=（8，-$\sqrt{10}$，4$\sqrt{5}$） 為面AFGE的一個法向量
由題知$\overrightarrow{m}$=（0，0，1）為面ABCD的一個法向量
∴cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2\sqrt{770}}{77}$，
∴所求二面角的余弦值為$\frac{2\sqrt{770}}{77}$．

點評 本題綜合考查空間中線線垂直和空間角的計算，涉及二面角的平面角，利用向量法是解決空間角常用的方法，考查的知識面較廣，難度中等．