Question

正項數(shù)列{a_n}的前n項和S_n滿足：S_n²-（n²+n-1）S_n-（n²+n）=0
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）令b_n=

an

3n

，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出Sn＞0，Sn=n2+n，由此能推導(dǎo)出數(shù)列{a_n}的通項a_n=2n．
（2）由bn=

2n

3n

，利用錯位相減法能求出Tn=

3

2

-

2n+3

2

(

1

3

)n．

解答： （1）解：由

S

2 n

-(n2+n-1)Sn-(n2+n)=0，
得[Sn-(n2+n)](Sn+1)=0．
∵{a_n}是正項數(shù)列，
∴Sn＞0，Sn=n2+n．
∴a₁=S₁=2，
n≥2時，an=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n．
綜上，數(shù)列{a_n}的通項a_n=2n．
（2）∵b_n=

an

3n

，∴bn=

2n

3n

，
∴Tn=

2

3

+

4

32

+

6

33

+…+

2n

3n

，①

1

3

Tn=

2

32

+

4

33

+

6

34

+…+

2n

3n+1

，②
①-②，得：

2

3

Tn=2（

1

3

+

1

32

+…+

1

3n

）-

2n

3n+1

=2×

1 3 (1- 1 3n )

1- 1 3

-

2n

3n+1

=1-

1

3n

-

2n

3n+1

，
∴Tn=

3

2

-

2n+3

2

(

1

3

)n．

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查數(shù)列的前n項和的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意錯位相減法的合理運用．