Question

去年2月29日，我國(guó)發(fā)布了新修訂的《環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)》指出空氣質(zhì)量指數(shù)在0-50為優(yōu)秀，各類(lèi)人群可正�；顒�(dòng)．惠州市環(huán)保局對(duì)我市2014年進(jìn)行為期一年的空氣質(zhì)量監(jiān)測(cè)，得到每天的空氣質(zhì)量指數(shù)，從中隨機(jī)抽取50個(gè)作為樣本進(jìn)行分析報(bào)告，樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為（5，15]，（15，25]，（25，35]，（35，45]，由此得到樣本的空氣質(zhì)量指數(shù)頻率分布直方圖，如圖．
（1）求a的值；
（2）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，試估計(jì)這一年度的空氣質(zhì)量指數(shù)的平均值；（注：設(shè)樣本數(shù)據(jù)第i組的頻率為p_i，第i組區(qū)間的中點(diǎn)值為x_i（i=1，2，3，…，n），則樣本數(shù)據(jù)的平均值為

.

X

=x₁p₁+x₂p₂+x₃p₃+…+x_np_n）
（3）如果空氣質(zhì)量指數(shù)不超過(guò)15，就認(rèn)定空氣質(zhì)量為“特優(yōu)等級(jí)”，則從這一年的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取3天的數(shù)值，其中達(dá)到“特優(yōu)等級(jí)”的天數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,頻率分布直方圖,眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)

專(zhuān)題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）由題意，得（0.02+0.032+a+0.018）×10=1，由此能求出a．
（2）求出50個(gè)樣本中空氣質(zhì)量指數(shù)的平均值，由樣本估計(jì)總體，可估計(jì)這一年度空氣質(zhì)量指數(shù)的平均值．（3）由題意知ξ～B(3，

1

5

)，ξ的取值為0，1，2，3，由此能求出ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答： （1）解：由題意，得（0.02+0.032+a+0.018）×10=1，…（1分）
解得a=0.03．…（2分）
（2）解：50個(gè)樣本中空氣質(zhì)量指數(shù)的平均值為

.

X

=0.2×10+0.32×20+0.3×30+0.18×40=24.6…（3分）
由樣本估計(jì)總體，可估計(jì)這一年度空氣質(zhì)量指數(shù)的平均值約為24.6．…（4分）
（3）解：利用樣本估計(jì)總體，
該年度空氣質(zhì)量指數(shù)在（5，15]內(nèi)為“特優(yōu)等級(jí)”，
且指數(shù)達(dá)到“特優(yōu)等級(jí)”的概率為0.2，則ξ～B(3，

1

5

)．…（5分）
ξ的取值為0，1，2，3，…（6分）
P(ξ=0)=

C

0 3

(

4

5

)3=

64

125

，
P(ξ=1)=

C

1 3

(

1

5

)×(

4

5

)2=

48

125

，
P(ξ=2)=

C

2 3

(

1

5

)2×(

4

5

)=

12

125

，
P(ξ=3)=

C

3 3

(

1

5

)3=

1

125

．…（10分）

ξ	0	1	2	3
P	64 125	48 125	12 125	a

∴ξ的分布列為：…（11分）
∴Eξ=0×

64

125

+1×

48

125

+2×

12

125

+3×

1

125

=

3

5

．…（12分）
（或者Eξ=3×

1

5

=

3

5

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查實(shí)數(shù)值的求法，考查平均值的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意頻率分布直方圖的合理運(yùn)用．