Question

5．已知圓M經(jīng)過A（1，-2），B（-1，0）兩點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上的四個(gè)截距之和是2，
（1）求圓M的方程；
（2）若$P（2，\frac{1}{2}）$為圓內(nèi)一點(diǎn)，求過點(diǎn)P被圓M截得的弦長最短時(shí)的直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出圓的一般式方程，兩坐標(biāo)軸上的四個(gè)截距之和是2，令y=0和x=0，利用韋達(dá)定理和圓過A，B坐標(biāo)可求．
（2）過點(diǎn)P被圓M截得的弦長最短，即直線l的方程垂直過P點(diǎn)的直徑．可得直線l的方程斜率．點(diǎn)斜式求直線l的方程．

解答 解；（1）由題意：設(shè)圓M：x²+y²+Dx+Ey+F=0，
令y=0，得x²+Dx+F=0，則x₁+x₂=-D，
令x=0，得y²+Ey+F=0，則y₁+y₂=-E，
兩坐標(biāo)軸上的四個(gè)截距之和是2，
∴D+E=-2
且圓過A（1，-2），B（-1，0）兩點(diǎn)，
將A，B代入，得$\left\{\begin{array}{l}1+4+D-2E+5=0\\-D+F+1=0\end{array}\right.$，
解得：D=-2，E=0，F(xiàn)=-3．
故得圓M：x²+y²-2x-3=0．
（2）設(shè)直線l的方程的斜率為k，由（1）可知圓心為（1，0）．過P且與P的圓的半徑垂直時(shí)，弦長最短，
∵${k_{MP}}=\frac{{\frac{1}{2}-0}}{2-1}=\frac{1}{2}$．
∴k=-2．
故得：$y-\frac{1}{2}=-2（x-2）$，即4x+2y-9=0．
所以直線l的方程為4x+2y-9=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓的方程的求法和過圓內(nèi)直線的最短弦問題．屬于基礎(chǔ)題．