Question

設(shè)數(shù)列{a_n}滿足an+1=3an+2n(n∈N*)且a₁，a₂+5，a₃ 成等差數(shù)列．
（1）求a₁的值；
（2）求證：數(shù)列{an+2n}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析：（1）由數(shù)列{a_n}滿足an+1=3an+2n(n∈N*)，分別令n=1，2，又a₁，a₂+5，a₃ 成等差數(shù)列，可得2（a₂+5）=a₁+a₃，聯(lián)立解得即可．
（2）由數(shù)列{a_n}滿足an+1=3an+2n(n∈N*)，可得an+1+2n+1=3(an+2n)，因此數(shù)列{a_n+2ⁿ}是以a₁+2為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列．利用通項(xiàng)公式即可得出．

解答：解：（1）由數(shù)列{a_n}滿足an+1=3an+2n(n∈N*)，分別令n=1，2可得a₂=3a₁+2，a₃=3a₂+4．
∵a₁，a₂+5，a₃ 成等差數(shù)列，∴2（a₂+5）=a₁+a₃，
聯(lián)立

a2=3a1+2 a3=3a2+4 2(a2+5)=a1+a3

，解得a₁=1，a₂=5，a₃=19．
∴a₁=1．
（2）由數(shù)列{a_n}滿足an+1=3an+2n(n∈N*)，可得an+1+2n+1=3(an+2n)，
∴數(shù)列{a_n+2ⁿ}是以a₁+2=3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列．
∴an+2n=3×3n-1，
∴an=3n-2n．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列的遞推式、變形化為等比數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于難題．