Question

已知函數(shù)f（x）=

2x-1

2x+1

．
（1）求f（x）的定義域和值域；
（2）判斷f（x）的奇偶性與單調(diào)性；
（3）解關(guān)于x的不等式 f（x²-2x+2）+f（-5）＜0．

Answer 1

考點：奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）運用指數(shù)函數(shù)的值域即可得到定義域，再由函數(shù)f（x），解得2^x，再令它大于0，即可得到值域；
（2）運用奇偶性的定義和單調(diào)性的定義，即可判斷；
（3）運用（2）的結(jié)論，f（x²-2x+2）+f（-5）＜0即為f（x²-2x+2）＜-f（-5）=f（5），得x²-2x+2＜5，解出即可．

解答： 解：（1）f（x）的定義域是R，令y=

2x-1

2x+1

，得2^x=-

y+1

y-1

．
∵2^x＞0，∴-

y+1

y-1

＞0，解得-1＜y＜1．
∴f（x）的值域為{y|-1＜y＜1}；
（2）∵f（-x）=

2-x-1

2-x+1

=

1-2x

1+2x

=-f（x），∴f（x）是奇函數(shù)．
∵f（x）=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

，在R上任取x₁，x₂，且x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=

2

2x2+1

-

2

2x1+1

=

2(2x1-2x2)

(2x2+1))(2x1+1)

，
∵x₁＜x₂，∴2x1-2x2＜0，(2x2+1))(2x1+1)＞0（2^x₁+1）＞0，
即有f（x₁）＜f（x₂），則f（x）在R上是增函數(shù)．
（3）由（2）得f（x）是奇函數(shù)，
且f（x）在R上是增函數(shù)．
則f（x²-2x+2）+f（-5）＜0即為f（x²-2x+2）＜-f（-5）=f（5），
得x²-2x+2＜5，即有x²-2x-3＜0，
解得-1＜x＜3，則不等式解集為（-1，3）．

點評：本題考查函數(shù)的定義域和值域的求法，考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的判斷和運用，考查不等式的解法，屬于中檔題．