Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R），滿足f（1）=1，f（1）=0且f（x+1）是偶函數(shù)．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）已知周期為2的奇函數(shù)g（x），當(dāng)x∈[0，1）時(shí)，g（x）=f（x+1），求g（x）在區(qū)間（1，3）上反函數(shù)的解析式．
（3）設(shè)h（x）=

f(x)，x≥1 -f(2-x)，x＜1

，若對(duì)任意的x∈[t，t+2]，不等式h（x+t）≤h（x²）恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)已知中函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R），滿足f（1）=1，f（1）=0且f（x+1）是偶函數(shù)，構(gòu)造關(guān)于a，b，c的方程解方程可得答案
（2）根據(jù)周期為2的奇函數(shù)g（x），當(dāng)x∈[0，1）時(shí)，g（x）=f（x+1），求出g（x）在區(qū)間（1，3）上的解析式，進(jìn)而可得g（x）在區(qū)間（1，3）上反函數(shù)的解析式．
（3）由h（x）=

f(x)，x≥1 -f(2-x)，x＜1

為增函數(shù)，故對(duì)任意的x∈[t，t+2]，不等式h（x+t）≤h（x²）恒成立，可化為x+t≤x²對(duì)任意的x∈[t，t+2]恒成立，令v（x）=x²-x-t，分類(lèi)討論函數(shù)的最小值，綜合討論結(jié)果，可得實(shí)數(shù)t的取值范圍．

解答： 解：（1）∵f（x+1）是偶函數(shù)．
∴函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng)，
又∵函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R），滿足f（1）=1，f（1）=0，
∴

f(0)=c=1 f(1)=a+b+c=0 - b 2a =1

，
解得：

a=1 b=-2 c=1

，
∴f（x）=x²-2x+1，
（2）∵當(dāng)x∈[0，1）時(shí)，g（x）=f（x+1）=x²，
且函數(shù)g（x）是周期為2的奇函數(shù)，
∴當(dāng)x∈[1，2）時(shí)，-x+2∈[0，1），
∴g（-x+2）=g[-（x-2）]=-g（x-2）=-g（x）=（-x+2）²，
∴g（x）=-（x-2）²∈[-1，0），此時(shí)g^-1（x）=

-x

+2，
∴當(dāng)x∈[2，3）時(shí)，x-2∈[0，1），
∴g（x-2）=g（x）=（x-2）²，
∴g（x）=（x-2）²∈[0，1），此時(shí)g^-1（x）=

x

+2，
∴g（x）=

-(x-2)2，x∈(1，2] (x-2)2，x∈(2，3]

，
∴g^-1（x）=

x +2，x∈[0，1) -x +2，x∈[-1，0)

，
（3）∵h(yuǎn)（x）=

f(x)，x≥1 -f(2-x)，x＜1

=

(x-1)2，x≥1 -(x-1)2，x＜1

在R上單調(diào)遞增，
故不等式h（x+t）≤h（x²）恒成立可化為x+t≤x²對(duì)任意的x∈[t，t+2]恒成立，
令v（x）=x²-x-t，則函數(shù)v（x）的圖象是開(kāi)口朝上且以直線x=

1

2

為對(duì)稱(chēng)軸的拋物線，
①當(dāng)t≥

1

2

時(shí)，v（x）在[t，t+2]上單調(diào)遞增，
當(dāng)x=t時(shí)，v（x）取最小值t²-2t，
則t²-2t≥0，解得t≤0，或t≥2，
∴t≥2；
②當(dāng)t+2≤

1

2

，即t≤-

3

2

時(shí)，v（x）在[t，t+2]上單調(diào)遞減，
當(dāng)x=t+2時(shí)，v（x）取最小值t²+2t+2，
由t²+2t+2≥0恒成立，
∴t≤-

3

2

；
③當(dāng)t＜

1

2

＜t+2，即-

3

2

＜t＜

1

2

時(shí)，
當(dāng)x=

1

2

時(shí)，v（x）取最小值-

1

4

-t，
由-

1

4

-t≥0得：t≤-

1

4

；
∴-

3

2

＜t≤-

1

4

；
綜上所述，實(shí)數(shù)t的取值范圍為t≤-

1

4

，或t≥2

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的恒成立問(wèn)題，反函數(shù)，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，難度較大．