Question

已知函數(shù)f（x）=a^x-a+1，（a＞0且a≠1）恒過定點（

1

2

，2），
（Ⅰ）求實數(shù)a；
（Ⅱ）若函數(shù)g（x）=f（x+

1

2

）-1，求：函數(shù)g（x）的解析式；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，若函數(shù)F（x）=g（2x）-mg（x-1），求F（x）在[-1，0]的最小值h（m）．

Answer 1

考點：指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì),函數(shù)解析式的求解及常用方法,指數(shù)函數(shù)綜合題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）代入即可求出實數(shù)a；
（Ⅱ）代入即可求出函數(shù)g（x）的解析式；
（Ⅲ）先化簡F（x），再令t=(

1

2

)x，t∈[1，2]，y=t²-2mt=（t-m）²-m²，分類討論即可求出最小值

解答： 解：（Ⅰ）由a

1

2

-a+1=2，解得a=

1

2

，
（Ⅱ）∵g（x）=f（x+

1

2

）-1，
∴g（x）=(

1

2

)(x+

1

2

)-

1

2

-1+1=（(

1

2

)x
（Ⅲ）∵F（x）=g（2x）-mg（x-1），
∴F（x）=(

1

2

)2x-2m(

1

2

)x，
令t=(

1

2

)x，t∈[1，2]，
∴y=t²-2mt=（t-m）²-m²，
 ①當m≤1時，y=t²-2mt在[1，2]單調(diào)遞增，
∴t=1時，y_min=1-2m，
②當1＜m＜2時，∴當t=m時，y_min=-m²，
③①當m≥2時，y=t²-2mt在[1，2]單調(diào)遞減，
∴t=2時，y_min=4-4m，
綜上所述h（m）=

1-2m，m≤1 -m2，1＜m＜2 4-4m，m≥2

．

點評：本題考查了函數(shù)的解析式的求法以及利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值的問題，屬于基礎(chǔ)題